Комплексная функция, отображение областей

[phys]

В общем случае для нахождения отображение области функцией $w = f(z)$ решается система:

\begin{cases} u=u(x, y) \\ v=v(x, y) \end{cases}

относительно $x, y$. Как составить и решить такую систему с для функции $w = \sqrt{z}$?
Была идея относительно формулы Муавра ($w = |z|^{1/2}[\cos{(\varphi/2 + \pi k)} + i\sin{(\varphi/2 + \pi k)}]$, вобще говоря $x$ и $y$ тут не присутствуют), но там такая область, аргументы у неё уж больно некрасивые, если как то можно легче, буду благодарен совету.

[svv]

Не очень понял проблему, но: ведь тогда у Вас $z=w^2$ ? И Вам нужно найти $\mathrm{Re}\; (w^2)$, $\mathrm{Im}\;(w^2)$ через $\mathrm{Re}\; w$, $\mathrm{Im}\; w$?

[phys]

Нужно $w = \sqrt{x + iy}$ представить в виде $w = u(x,y) + iv(x,y)$

[ewert]

phys в сообщении #542822 писал(а):

Нужно $w = \sqrt{x + iy}$ представить в виде $w = u(x,y) + iv(x,y)$

Это смотря что за область. В учебных задачах чаще всего подсовывают такие области, для которых вот в таком именно виде -- лучше не надо.

Ну а если уж очень хочется, то действуйте в лоб. Формально возведите в квадрат, приравняйте друг другу вещественные и мнимые части и решайте полученную систему из двух уравнений для двух неизвестных $u,v$. Она сведётся к биквадратному уравнению; на выходе получится нечто довольно уродливое, но вполне обозримое.

[phys]

ewert:

Так, а если я скажу что область:

$ \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 4 \end{cases} $

вот такая, что посоветуете?

[ewert]

Тогда действительно только в лоб. Только выводить до конца выражения для $u(x,y)$ и $v(x,y)$ всё же ни к чему. Зачем они?... Нам ведь нужны вовсе не они -- нам нужны уравнения участков границы в переменных $u,v$. Ну так эти уравнения мгновенно выплывают после возведения в квадрат: в каждом случае одно из уравнений системы не будет содержать или икса, или игрека, и это будет уравнение соответствующей гиперболы. (Кроме, конечно, участков горизонтальной оси: для них вообще ничего считать не надо -- и так ясно, куа они перейдут.)

[phys]

Вкурил.

$w^2 = x^2 + i2xy - y^2 = u + iv$

$ \begin{cases} u = x^2 - y^2 \\ v = 2xy \end{cases} $

Пользуясь координатами точек в $(x, y)$ нашел соответствующие точки в $(u, v)$. Подставив уравнение ограничивающих прямых получил во что они перейдет (в параболы только, а не в гиперболы), не понятно только точками A и D, они сливаются в одну, только вот далеко не факт что прямая их соединяющая будет коллапсировать в ту же точку.

[ewert]

phys в сообщении #542877 писал(а):

$w^2= x^2 + i2xy - y^2 = u + iv$

Сильно подозреваю, что Вы всё-таки перепутали условие. Во всяком случае, это явно противоречит прежнему $w=\sqrt{z}$. Определитесь, какое в точности преобразование Вам требуется применить к этой области?

[phys]

Ну, во первых я там* {cases} подправил сверху.

Область D(x, y) переход в область G(u, v) с помощью функции $w = \sqrt{z}$

А что вас смущает?
$w = \sqrt{u + iv}$
$w^2 = u + iv = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i2xy$

[ewert]

Да то, что никому не придёт в голову обозначать $w=x+iy$ и $z=u+iv$.

[phys]

Ну уж извольте. Таков семинарист.