Несложная олимпиадная задачка по механике.

[kopern1k]

Предложили недавно на олимпиаде. Хоть никаких больших знаний задача не требует, я не смог на олимпиаде решить её. Однако дома, с Иродовым за чашкой чая, освоил. Возможно кому-то она покажется интересной.

Точка скользит по гладкой поверхности (как показано на рисунке), без начальной скорости. После наклонной плоскости, она входит в "мёртвую петлю", т.е. в окружность радиуса $R$. Какова должна быть начальная высота точки $h_0$, чтобы точка прошла полностью мёртвую петлю?



P.S. Рисунок не совсем верный, в том плане, что окружность должна быть практически полной.

[ewert]

Начальная высота определяет квадрат скорости, с которой точка будет скользить мимо верхней точки окружности. И центростремительное ускорение, отвечающее этому квадрату скорости, должно быть не меньше, чем ускорение свободного падения.

[kopern1k]

Очередной общий ответ. Если по-вашему мнению, решение задачи можно описать в словах в одной строчки, то почему Вам сложно написать формулы.
Я ни в коей мере, не желаю принизить Ваш ответ, просто непонятно с какой целью писать их. Если это попытка показать мне решение, то я не понял, что Вы написали(скорее всего, по-моей вине).
У меня есть конкретный ответ на задачу и я просто хотел бы сравнить.

[spaits]

kopern1k в сообщении #542864 писал(а):

У меня есть конкретный ответ на задачу и я просто хотел бы сравнить.

А что Вам надо - чтобы шарик один раз прошел по окружности до нижней точки и потом на втором круге упал? Или чтоб вертелся вечно?

[ewert]

kopern1k в сообщении #542864 писал(а):

то почему Вам сложно написать формулы.

Мне несложно, мне просто лень. Ведь каждая из этих двух фраз автоматически переписывается в виде соответствующего уравнения, из которых (уравнений) ответ следует уже мгновенно. Ну разве что можно ещё в первую фразу добавить слова "по закону сохранения энергии", раз уж это настолько неочевидно.

[kopern1k]

spaits в сообщении #542869 писал(а):

kopern1k в сообщении #542864 писал(а):

У меня есть конкретный ответ на задачу и я просто хотел бы сравнить.

А что Вам надо - чтобы шарик один раз прошел по окружности до нижней точки и потом на втором круге упал? Или чтоб вертелся вечно?

Чтобы он хотя бы один раз прошел, не отрываясь.

ewert в сообщении #542879 писал(а):

Ведь каждая из этих двух фраз автоматически переписывается в виде соответствующего уравнения, из которых (уравнений) ответ следует уже мгновенно.

У меня нет такого опыта, чтобы из этих фраз записать уравнения.

Я рассматривал два отдельных участка(наклонная плоскость и окружность). На первом участке посчитал начальную скорость для второго. На втором участке выразил скорость через угол, определяющий положение точки на окружности. И считал, что сила реакции опоры не равнялась нулю(что соответствует моменту отрыва). В итоге получил, что $h_0>2.5R$. Мне этот ответ не нравится, потому что нельзя конкретного значения $h_0$ назвать. Поэтому и хотел сравнить с Вашим решением

[ewert]

kopern1k в сообщении #542909 писал(а):

Мне этот ответ не нравится, потому что нельзя конкретного значения $h_0$ назвать.

А что Вы хотите: ясно, что высота должна зависеть от радиуса. А больше ни от чего зависеть не может, т.к. единственная величина, размерность которой не является метрами -- ускорение свободного падения -- ничем скомпенсироваться не сможет.

Хорошо, уговорили. Если $v$ -- скорость в верхней точке окружности, то по закону сохранения энергии $\frac{mv^2}2=mg(h_0-2R)$. И при этом центростремительное ускорение $\frac{v^2}R\geqslant g$. Откуда $mg(h_0-2R)\geqslant\frac{mgR}2$, т.е. $h_0\geqslant\frac52 R$.

[anik]

Я не понял, а почему $(h_0-2R)$?

[spaits]

anik в сообщении #542917 писал(а):

Я не понял, а почему $(h_0-2R)$?

Разность потенциальных энергий в начале и конце подъема шарика по мертвой петле.
Но в дальнейших вычислениях не учтено вращение шарика, а для этого надо знать радиус шарика и распределение массы шарика по объему.

[kopern1k]

ewert в сообщении #542914 писал(а):

А что Вы хотите: ясно, что высота должна зависеть от радиуса.

У меня строго $h_0>2.5R$. Мне это и не нравится. Потому что, когда я выражал скорость через реакцию опоры, необходимо было, чтобы она строго была больше нуля. Как раз по-моим представлениям в момент, когда реакия равна 0 и происходит отрыв от поверхности.
Что происходит, когда нормальное ускорение равно $g$?

[anik]

kopern1k в сообщении #542937 писал(а):

Что происходит, когда нормальное ускорение равно $g$?

В этот момент точка (а не шарик) находится в невесомости, это должна быть высшая точка на окружности.

spaits в сообщении #542931 писал(а):

Разность потенциальных энергий в начале и конце подъема шарика по мертвой петле.

А почему Вы решили, что важна именно эта разность? Сама высота $H$ разве не участвует в создании потенциальной энергии.
Имелось в виду движение точки по гладкой поверхности.

(Оффтоп)

Вот такое наивное представление меня всегда коробит. Почему отсутствие трения ассоциируется с гладкой поверхностью? Это что, необходимое и достаточное условие отсутствия трения? Вспомните притёртые плитки Иогансона, они достаточно полированы и гладки

Поскольку точка движется без трения, сил тормозящих точку нет. Сила реакции опоры всегда нормальна к перемещению точки и работы не совершает. Поэтому, если точка начнёт падать с высоты $H$, то она и поднимется снова на высоту $H$, если ей ничего не мешает. В данной задаче достаточно чтобы $H>2R$, тогда точка будет всё время вращаться по окружности.

[spaits]

anik в сообщении #542960 писал(а):

важна именно эта разность?

Да, именно разность.

[Утундрий]

anik в сообщении #542960 писал(а):

В данной задаче достаточно чтобы $H>2R$, тогда точка будет всё время вращаться по окружности.

Если $H$ это $h_0$, то недостаточно. Верное достаточное условие приведено выше.

[kopern1k]

То есть можно считать правильным ответом на первоначальный вопрос(если считать, что там должно стоять "минимальная высота") $h_0=2.5R$?

[ewert]

kopern1k в сообщении #542974 писал(а):

То есть можно считать правильным ответом на первоначальный вопрос(если считать, что там должно стоять "минимальная высота") $h_0=2.5R$?

Можно.

kopern1k в сообщении #542937 писал(а):

Как раз по-моим представлениям в момент, когда реакия равна 0 и происходит отрыв от поверхности.

Вы за ту реакцию не переживайте: уже в самый что ни на есть следующий момент (бесконечно мало следующий) она станет снова больше нуля.