Найти точки разрыва функции двух переменных

[Dosaev]

gris в сообщении #542823 писал(а):

А какое именно ваше определение?

Нет, Зоричевское. А про биссектрису это какое?

[bot]

Dosaev в сообщении #542734 писал(а):

Почему тогда в ответе точки (1; -1) и (-1; 1) точки устранимого разрыва?

А ни почему, в этих точках функция непрерывна. Вот Вы лёгким движением руки, ... лёгким движением руки, ... а что лёгким движением руки? Привели к $u = x^2 - xy + y^2$? Как бы не так - лёгким движением руки функция представилась такой записью

$u = \left\{\begin{matrix}x^2 - xy + y^2, & \text{если} \, x + y \not = 0 \\ 3, & \text{если} \, x + y = 0 \end{matrix} \right.$

Записали бы так, и вопросы сами бы поотпадали и ошибка в ответе очевидной бы стала.

[Dosaev]

Да, я с этими точками разобрался. Спасибо, bot! Спасибо gris!

[gris]

В ответе эти две точки, всё-таки, точки непрерывности. А точки устранимого разрыва — остальные точки прямой. Но почему устранимого? Опечатка и в 62.11? Тайна...

[ewert]

gris в сообщении #542839 писал(а):

Но почему устранимого? Опечатка и в 62.11? Тайна...

Тут вопрос терминологии. Что такое вообще точки устранимого разрыва для функции нескольких переменных?... Это ведь по-разному можно определять.

[gris]

У Кудрявцева в задачнике приведено стандартное определение. Предел в точке устранимого разрыва существует, но не равен значению функции в этой точке, либо функция в этой точке не определена.
Но в нескольких задачах приведены ответы, не соответствующие этому определению.

[bot]

Мне легче - у меня ответов нет. Конечно неустранимого. Чтобы устранить разрыв в другой точке прямой мало будет изменить значение в точке - придётся задействовать хотя бы кусочек прямой.

-- Вс фев 26, 2012 20:16:50 --

ewert в сообщении #542841 писал(а):

Это ведь по-разному можно определять

Как? Хотя бы один другой вариант.

[gris]

А если взять малюсенький-малюсенький кусочек, может быть будет считаться?
Другой вариант пожалуйста? Если функцию можно переопределить на множестве меры ноль. Тогда ответ годится.

[bot]

Ага, что-нить такого типа. В одномерном случае разрыв устраняется, если возможно изменение функции на 0-мерном многообразии, в двумерном - на одномерном, ... Так что ли?

[Dosaev]

Потому что предел существует по определению Гейне.

[gris]

Ну как же он существует? По Гейне надо не одну последовательность взять, а все!
По Гейне отрицание строить хорошо: достаточно двух последовательностей с разными пределами. Вот как у нас. Одна по оси икс, другая по биссектрисе.

[bot]

Ясно что без натяжек спасти ответ не получится.

[Dosaev]

gris в сообщении #542823 писал(а):

В начале координат, например, первая компонента имеет предел по своей области определения, и он равен нулю. Вторая компонента тоже имеет предел по своей области определения, но он равен трём. То есть по всей своей области определения "объединённая" функция в начале координат предела не имеет.

Можете поподробнее объяснить почему так?

[bot]

Ну, берём две последовательности точек $(1/n; 1/n)$ и $(1/n; -1/n)$. Обе сходятся к $(0;0)$, а последовательности значений куда сходятся?

-- Вс фев 26, 2012 21:29:46 --

Dosaev в сообщении #542871 писал(а):

То есть по всей своей области определения "объединённая" функция в начале координат предела не имеет.

И не только в начале координат - во всех точках прямой $x+y=0$ та же хрень, за исключением двух уже указанных точек устранимого разрыва непрерывности.

[Dosaev]

bot в сообщении #542876 писал(а):

Ну, берём две последовательности точек $(1/n; 1/n)$ и $(1/n; -1/n)$. Обе сходятся к $(0;0)$, а последовательности значений куда сходятся?

Ясно. Но почему тогда нельзя взять не (0;0) , а произвольную $(x_0; y_0)$: $x_0 + y_0 = 0$. И так же подобрать к ним последовательности?