замкнутый оператор

[Oleg Zubelevich]

$X,Y$ -- банаховы пространства.
$A:X\to Y$ -- замкнутый линейный оператор со всюду плотной областью определения $D\subseteq X$.

Доказать, что образ $A$ замкнут iff

существует такая постоянная $c$, что для всех $x\in D$ выполнено

$$\inf\{\|x+u\|_X\mid u\in\ker A\}\le c\|Ax\|_Y.$$

[Padawan]

Плотность $D$ в $X$ по-моему не нужна, не используется.
Замкнутость оператора по определеню означает замкнутость его графика $\Gamma=\{(x,Ax)| x\in D\}\subset X\times Y$. В пространстве $X\times Y$ вводится норма $\|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_X+\|y\|_Y$. Так как $\ker A=\Gamma\cap X$, то $\ker A$ замкнуто (все рассматриваем как подпространства $X\times Y$). Берем фактор-пространство $\widetilde\Gamma=\Gamma/\ker A$. Его элементами являются множества $\{(x+u,Ax)\}_{u\in\ker A}$, и оно банахово относительно соответствующей фактор-нормы

$$\| \{(x+u,Ax)\}_{u\in\ker A}\|_{\widetilde\Gamma}=\inf\limits_{u\in \ker A} \|(x+u,Ax)\|_{X\times Y}=\inf\limits_{u\in\ker A}(\|x+u\|_X+\|Ax\|_Y)=\inf\limits_{u\in\ker A}\|x+u\|_X+\|Ax\|_Y$$

Отображение $\widetilde\Gamma\to \operatorname{im} A$, $\{(x+u,Ax)_{u\in\ker A}\}\mapsto Ax$, корректно определено и взаимно-однозначно. Кроме того,оно непрерывно. Поэтому по теореме Банаха об обратном операторе обратное отображение будет непрерывно тогда и только тогда, когда $\operatorname{im} A$ замкнуто. А непрерывность обратного отображение означает, что существует $c>0$ такое, что

$$\inf\limits_{u\in\ker A}\|x+u\|_X+\|Ax\|_Y\leqslant c\|Ax\|_Y$$

то есть, то что надо (с другой константой просто)

[Oleg Zubelevich]

угу. Вот это : topic55566.html
теперь почти очевидно.