Группы, мощность смежных классов

[MagzhanZ]

Здравствуйте!!! Вот скажем есть у меня группа $Z_6={0,1,2,3,4,5}$. И рассмотрим ее подгруппу $H={0,1,5}$. Мощность множества всех левых смежных классов равна 2 получается по теореме Лагранжа. А теперь и вопросы:
1) Множество всех левых смежных классов это - {0,1,5}, {1,2,0}, {2,3,1}, {3,4,2}, {4,5,3}, {5,0,4}?
2) Мощность равна 2, потому что можно разбить так {0,1,5}, {3,4,2}={1,2,0}, {4,5,3}={5,0,4},{2,3,1}?

[AV_77]

MagzhanZ в сообщении #540421 писал(а):

Здравствуйте!!! Вот скажем есть у меня группа $Z_6={0,1,2,3,4,5}$. И рассмотрим ее подгруппу $H={0,1,5}$.

Как бы $H$ - это не подгруппа, а просто подмножество.

[MagzhanZ]

AV_77 в сообщении #540425 писал(а):

MagzhanZ в сообщении #540421 писал(а):

Здравствуйте!!! Вот скажем есть у меня группа $Z_6={0,1,2,3,4,5}$. И рассмотрим ее подгруппу $H={0,1,5}$.

Как бы $H$ - это не подгруппа, а просто подмножество.

Почему? 0+1=1, 0+5=5, 1+5=0. 0 лежит в Н. Обратный элемент к 1, т.е 5 лежит в Н. И обратный элемент к 5, т.е. 1 лежит в Н

[Joker_vD]

MagzhanZ
А 1+1 чему равен? 5+5?

-- Вс фев 19, 2012 13:05:32 --

И вообще — и 1, и 5 являются порождающими элементами группы $\mathbb Z_6$, поэтому наименьшая подгруппа, которая может их содержать — это сама $\mathbb Z_6$.

[MagzhanZ]

Joker_vD в сообщении #540429 писал(а):

MagzhanZ
А 1+1 чему равен? 5+5?

Тааак....теперь я знаю подгруппы) А можете контрольный вопрос на подгруппы?)
У меня проблемы с мощностью смежных классов. Просто не мог найти простой пример подсчета этой мощности. Не подскажете пример?

[Joker_vD]

Я-то могу, но их, собственных подгрупп, всего две. Посчитайте $\langle2\rangle$, $\langle3\rangle$, $\langle4\rangle$ — получите две подгруппы. $\langle1\rangle=\langle5\rangle=\mathbb Z_6$ и $\langle0\rangle=\{0\}$ — неинтересные тривиальные подгруппы. Других подгрупп нет, т.к. $\mathbb Z_6$ — циклическая группа.

[VAL]

MagzhanZ в сообщении #540433 писал(а):

Тааак....теперь я знаю подгруппы) А можете контрольный вопрос на подгруппы?)
У меня проблемы с мощностью смежных классов. Просто не мог найти простой пример подсчета этой мощности. Не подскажете пример?

Сначала разберитесь с подгруппами. Перечислите для начала подгруппы двух шестиэлементных групп: Вашей $\matbb Z_6$ и $S_3$ (это группа перестановок 3-элементного множества).
А с мощностью смежных классов проблем нет. Мощность любого смежного класса по подгруппе всегда совпадает с мощностью подгруппы.

[MagzhanZ]

Joker_vD в сообщении #540434 писал(а):

Я-то могу, но их, собственных подгрупп, всего две. Посчитайте $\langle2\rangle$, $\langle3\rangle$, $\langle4\rangle$ — получите две подгруппы. $\langle1\rangle=\langle5\rangle=\mathbb Z_6$ и $\langle0\rangle=\{0\}$ — неинтересные тривиальные подгруппы. Других подгрупп нет, т.к. $\mathbb Z_6$ — циклическая группа.

Это получается - {2,4,0},{3,0},{0,4,2}. Т.е левые смежные классы - {0,2,4}, {1,3,5}, {2,4,0}, {3,5,1}, {4,0,2}, {5,1,3}. Т.е {0,2,4} и {1,3,5}. Получается 2=6/3. Какое облегчение) Спасибо! А можете дать пример, только не сложные (не такие как в Винберге)))

[VAL]

MagzhanZ в сообщении #540442 писал(а):

Это получается - {2,4,0},{3,0},{0,4,2}. Т.е левые смежные классы - {0,2,4}, {1,3,5}, {2,4,0}, {3,5,1}, {4,0,2}, {5,1,3}. Т.е {0,2,4} и {1,3,5}.

Угу. Они же и правые.

Цитата:

Получается 2=6/3. Какое облегчение) Спасибо! А можете дать пример, только не сложные (не такие как в Винберге)))

А чем Вас не устраивает то, что предложил я? Найти подгруппы и смежные классы (левые и правые) по ним в группе $S_3$. Этот пример уже посодержательнее будет.

[MagzhanZ]

VAL в сообщении #540457 писал(а):

MagzhanZ в сообщении #540442 писал(а):

Это получается - {2,4,0},{3,0},{0,4,2}. Т.е левые смежные классы - {0,2,4}, {1,3,5}, {2,4,0}, {3,5,1}, {4,0,2}, {5,1,3}. Т.е {0,2,4} и {1,3,5}.

Угу. Они же и правые.

Цитата:

Получается 2=6/3. Какое облегчение) Спасибо! А можете дать пример, только не сложные (не такие как в Винберге)))

А чем Вас не устраивает то, что предложил я? Найти подгруппы и смежные классы (левые и правые) по ним в группе $S_3$. Этот пример уже посодержательнее будет.

Это значит - 123, 132, 213, 231, 312, 321. И это что сидеть перемножать попарно?

[VAL]

MagzhanZ в сообщении #541674 писал(а):

VAL в сообщении #540457 писал(а):

А чем Вас не устраивает то, что предложил я? Найти подгруппы и смежные классы (левые и правые) по ним в группе $S_3$. Этот пример уже посодержательнее будет.

Это значит - 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Можно и так записать. Хотя информативнее вот так: $e, (23), (12), (123), (132), (13)$

Цитата:

И это что сидеть перемножать попарно?

А чего не посидеть? При некотором навыке можно минуты за триь управиться. Без оного -за полчасика. Зато понимания прибавится.

Нетривиальных подгрупп в $S_3$ четыре штуки. Выпишите по каждой левые и правые смежные классы и посмотрите, что получится.

[MagzhanZ]

VAL в сообщении #541852 писал(а):

MagzhanZ в сообщении #541674 писал(а):

VAL в сообщении #540457 писал(а):

А чем Вас не устраивает то, что предложил я? Найти подгруппы и смежные классы (левые и правые) по ним в группе $S_3$. Этот пример уже посодержательнее будет.

Это значит - 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Можно и так записать. Хотя информативнее вот так: $e, (23), (12), (123), (132), (13)$

Цитата:

И это что сидеть перемножать попарно?

А чего не посидеть? При некотором навыке можно минуты за триь управиться. Без оного -за полчасика. Зато понимания прибавится.

Нетривиальных подгрупп в $S_3$ четыре штуки. Выпишите по каждой левые и правые смежные классы и посмотрите, что получится.

Нетривиальные подгруппы 1- е, 123, 132 / 2- е, 12, 123, 23 / 3- е, 13, 132, 23 / 4- е, 123, 132, 12, 23, 13. Всего 4. Но 2-ая подгруппа имеет мощность 4. А сама группа 6. Но 6 не делится на 4(
Я правильно нашел подгруппы?

[VAL]

MagzhanZ в сообщении #542357 писал(а):

VAL в сообщении #541852 писал(а):

Нетривиальных подгрупп в $S_3$ четыре штуки. Выпишите по каждой левые и правые смежные классы и посмотрите, что получится.

Нетривиальные подгруппы 1- е, 123, 132 / 2- е, 12, 123, 23 / 3- е, 13, 132, 23 / 4- е, 123, 132, 12, 23, 13. Всего 4. Но 2-ая подгруппа имеет мощность 4. А сама группа 6. Но 6 не делится на 4(
Я правильно нашел подгруппы?

По-видимому, неправильно. Раз Вы сами пишете, что у Вас получилось 4 элемента в подгруппе.
А еще Вы как-то странно записываете перестановки. Если в цикловом виде (как предлагал я), то оформление каждого цикла в круглые скобки - обязательный элемент записи.

А подгруппы найти очень легко. Особенно, если учесть, что собственные подгруппы $S_3$ - циклические (то есть, порождены одним элементом).

[MagzhanZ]

VAL в сообщении #542366 писал(а):

MagzhanZ в сообщении #542357 писал(а):

VAL в сообщении #541852 писал(а):

Нетривиальных подгрупп в $S_3$ четыре штуки. Выпишите по каждой левые и правые смежные классы и посмотрите, что получится.

Нетривиальные подгруппы 1- е, 123, 132 / 2- е, 12, 123, 23 / 3- е, 13, 132, 23 / 4- е, 123, 132, 12, 23, 13. Всего 4. Но 2-ая подгруппа имеет мощность 4. А сама группа 6. Но 6 не делится на 4(
Я правильно нашел подгруппы?

По-видимому, неправильно. Раз Вы сами пишете, что у Вас получилось 4 элемента в подгруппе.
А еще Вы как-то странно записываете перестановки. Если в цикловом виде (как предлагал я), то оформление каждого цикла в круглые скобки - обязательный элемент записи.

А подгруппы найти очень легко. Особенно, если учесть, что собственные подгруппы $S_3$ - циклические (то есть, порождены одним элементом).

Кажется я нашел подгруппы)
1- е, (12) / 2- е, (13) / 3- е, 23 / 4- е, (123), (132)
Теперь левые смежные классы -
1- {(12), е}, {(12), (132)}, {(12),(123)}, {(12), (23), (13)}
2- {(13),e}, {(13),(123)}, {(13),(132)},{(13),(123),(132)}
3- {(23), е}, {(23), (132)}, {(12),(123)}, {(12), (23), (13)}
4- {(123), (13)}, {(123), (23)}, {(123),(12)}, {(123), (132), e}
5- {(132), (23)}, {(132), (12)}, {(132),(13)}, {(123), (132), e}
6- {(12), е}, {(13), e}, {e,(23)}, {e, (123), (123)}
Мощность подгруппы четвертой будет 2. {(12), (23), (13)}, {(123), (132), e}
Мощность подгруппы первой(второй и т.п) будет 3. {(132), (23)} {(123), (13)} {(12), е}

[VAL]

MagzhanZ в сообщении #542597 писал(а):

VAL в сообщении #542366 писал(а):

А подгруппы найти очень легко. Особенно, если учесть, что собственные подгруппы $S_3$ - циклические (то есть, порождены одним элементом).

Кажется я нашел подгруппы)
1- е, (12) / 2- е, (13) / 3- е, 23 / 4- е, (123), (132)

Верно.

Цитата:

Теперь левые смежные классы -
1- {(12), е}, {(12), (132)}, {(12),(123)}, {(12), (23), (13)}
2- {(13),e}, {(13),(123)}, {(13),(132)},{(13),(123),(132)}
3- {(23), е}, {(23), (132)}, {(12),(123)}, {(12), (23), (13)}
4- {(123), (13)}, {(123), (23)}, {(123),(12)}, {(123), (132), e}
5- {(132), (23)}, {(132), (12)}, {(132),(13)}, {(123), (132), e}
6- {(12), е}, {(13), e}, {e,(23)}, {e, (123), (123)}

Не понял. Смежные классы (различные левые смежные классы по одной и той же подгруппе) не должны пересекаться (образовывать разбиение). А Ваши подмножества сплошь и рядом пересекаются.

Цитата:

Мощность подгруппы четвертой будет 2. {(12), (23), (13)}, {(123), (132), e}
Мощность подгруппы первой(второй и т.п) будет 3. {(132), (23)} {(123), (13)} {(12), е}

Вот это больше похоже на смежные классы. Только текст странный. Причем тут подгруппы? Смежные классы не образуют подгруппу.

Теперь посмотрите, что случится с каждым из приведенных (в двух последних строках) разбиений, если вместо левых смежных классов взять правые.