Две задачи по комбинаторике

[aquatko]

Добрый день всем, подскажите пожалуйста решение двух задач.
1. Сколькими способами можно разделить 7 групп между двумя преподавателями так, что ни один из них Не получит более 5 групп.
2. Из колоды в 32 карты выбирается 10 карт. В скольких случаях среди них окажется не менее 7 карт одной масти.

По поводу первой задачи. Как правильно решить будет?
Через задачу Муавра и тогда получается 4 варианта. ( $C_{4+2-1}^{2-1}$)
Или по простой формуле сочетаний и тогда $2C_7^5 + 2C_7^3$

По поводу второй
Будет $C_8^7 \cdot C_{24}^3 + 8C_{24}^2$?
Заранее всем спасибо

[gris]

Один не более пяти, значит второй не менее двух. Какие числа не менее двух и не более пяти? С учётом симметричности биномиальных коэффициентов получаем ответ.

В колоде из 32 листов 4 масти по 8 карт в каждой. У Вас ответ для определённой масти (например, пики).

[aquatko]

Если честно, не понял что Вы про первую задачу написали, если не сложно, напишите поподробнее.

А во второй получается нужно ответ на 4 умножить?

[gris]

По первой как Вы второе решение получили?
А по второй откуда там 8 появилась перед вторым биномиальным коэффициентом?

[aquatko]

1) $C_7^5 + C_7^3+C_7^2 + C_7^4
2) Да, точно там без восьмерки. Имел в виду $C_8^8$

[gris]

Правильно. Во второй, да, умножить на количество мастей.

[aquatko]

Ясно, спасибо большое.
Вот еще одна задача, надеюсь, последняя.

Из колоды в 32 карты выбирается 10 карт. В скольких случаях среди них окажется по 4 карты каждой из черных мастей и по одной каждой из красных мастей.
Будет так?
$C_8^4 \cdot C_8^4\cdot C_8^1\cdot C_8^1

[gris]

Да. Главное в таких задачах не допускать двойного счёта. Вы там в преферанс играете?

[aquatko]

Да вот просто пытаюсь разобраться с типовыми задачами. Спасибо вам.

Вот еще одна, она не типовая правда.
На критерий Поста.
Приведите пример полной системы состоящей из двух функций, существенно зависящих от двух и четырех функций соответственно, причем ни одна из них не будет лишней.

Что сам надумал:
\lbrace \bigvee ; x \equiv y \oplus z \bigwedge t \rbrace
1) Сохраняет 0.
Вторая не сохраняет: 0 \equiv 0 \oplus 0 \bigwedge 0 = 1
2) Сохр. 1
Вторая не сохраняет: 1 \equiv 1 \oplus 1 \bigwedge 1 = 0
3) Линейность
Первая не линейна, в полиноме Жегалкина получается: x \oplus y \oplus xy
4) Cамодвойственность
Первая не самодвойственна: (x \bigvee y)^* = \overline {\bar{x} \bigvee \bar{y}} = x \bigwedge y
5) Монотонность
Вторая не монотонна, расписывать долго, там получается при значениях (0 0 1 0) = 1, а при (0 0 1 1) = 0

Вот так. Я вообще в правильном направлении подумал?