Геометрия. часть В ЕГЭ

[Lenasp]

прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Известно, что АD=33, ВС=11. Площадь трапеции AEFD относится к площади трапеции EFCB как 27 : 5. Найти длину отрезка EF

[alcoholist]

Lenasp в сообщении #542566 писал(а):

Найти длину отрезка EF

и какие затруднения, кроме незнания формулы для вычисления площади трапеции через основания и высоту?

[Lenasp]

Да, формула площади трапеции:это основание полусумма оснований, умноженная на высоту, но как связать это с ЕF..ведь это не средняя линия!!!

[alcoholist]

Lenasp в сообщении #542571 писал(а):

ЕF..ведь это не средняя линия

в Вашей фразе

Lenasp в сообщении #542571 писал(а):

полусумма оснований

нет ни одной "средней линии"

-- Сб фев 25, 2012 21:04:10 --

Метод площадей: выразите площадь целого через площади частей и используйте $27/5$

[Lenasp]

Как нет ни одной средней линии??? у любой трапеции есть средняя линия, она равна полусумме оснований. из этого вытекает формула площади трапеции=средняя линия, умноженная на высоту.. Или я вас не правильно понимаю?? вы имели в виду что-то другое??

-- 25.02.2012, 22:06 --

"метод площадей"-впервые слышу((

[alcoholist]

вот скажите... если Вам известны основания трапеции и высота -- Вам нужно среднюю линию искать чтобы площадь вычислить?

[Lenasp]

alcoholist в сообщении #542576 писал(а):

вот скажите... если Вам известны основания трапеции и высота -- Вам нужно среднюю линию искать чтобы площадь вычислить?

конечно нет. но высоту я не знаю, предположим, что обозначив что-то за х, по теореме Пифагора я смогу её найти, найду площадь. а дальше как? предположим даже, что я найду площадь EFCB, вызазив из отношения 27:5, и что дальше?? Как найти EF??

[ewert]

Достраивайте трапецию до треугольника. Площадь треугольника при фиксированной форме пропорциональна квадрату основания. Поэтому, выражая площади всех трёх упоминаемых трапеций через разности соотв. треугольников -- сразу получаем для искомого отрезка соотношение $\frac{33^2-x^2}{x^2-11^2}=\frac{27}5$.

[alcoholist]

Обозначайте то, что Вам нужно найти за $x$... остальное другими буквами:)))

alcoholist в сообщении #542572 писал(а):

Метод площадей: выразите площадь целого через площади частей и используйте $27/5$

хм... как говаривал ИСН... про рессору трактора

[Lenasp]

ewert в сообщении #542582 писал(а):

Достраивайте трапецию до треугольника. Площадь треугольника при фиксированной форме пропорциональна квадрату основания. Поэтому, выражая площади всех трёх упоминаемых трапеций через разности соотв. треугольников -- сразу получаем для искомого отрезка соотношение $\frac{33^2-x^2}{x^2-11^2}=\frac{27}5$.

простите, а где вы взяли эту формулу про" отношение площади треугольника к квадрату основания". мне она неизвестна

[alcoholist]

Lenasp в сообщении #542588 писал(а):

простите, а где вы взяли эту формулу

он ее прямо сейчас придумал)
она верна!

[ewert]

Lenasp в сообщении #542588 писал(а):

где вы взяли эту формулу про" отношение площади треугольника к квадрату основания". мне она неизвестна

Это -- типа народный фольклор. Что при одной и той же форме фигуры её площадь пропорциональна квадрату линейного размера. Это все знают. И Вы тоже обязаны.

[spaits]

alcoholist в сообщении #542570 писал(а):

и какие затруднения, кроме незнания формулы для вычисления площади трапеции через основания и высоту?

alcoholist, для решения задачи как раз эта формула не нужна.
Как уже говорили, надо достроить трапецию до треугольника и рассматривать отношения площадей получившихся треугольников, а также отношения разностей площадей.
Можно решать так.
Если обозначить площадь достроенного треугольника как $S_0$, а площади частей трапеции как $S_1$ и $S_2$ (верхняя и нижняя трапеции соответственно), то $S_0$ составляет $4$ части (как это найти из подобия треугольников, подумайте сами), а по условию $S_1$ составляет $5$ частей, $S_2$ - $ 32$ части.
Тогда площадь верхнего достроенного треугольничка ($4$ части) вместе с верхней частью трапеции составляет $4+5=9$ частей, а это есть треугольник с искомым основанием $x$. Отношения площадей треугольников $9:4$, отношения сторон $3:2$, а меньшая сторона дана, это верхнее основание трапеции, $11$ см. Итак, $x=11\cdot\dfrac{3}{2}=16,5$ см.
Выше приведено решение ewert, оно короче и также основано на использовании отношения площадей подобных треугольников и их разностей.
Возможно, мое подробное пояснение позволит топикстартеру нагляднее понять этот метод.

[ewert]

"Части" -- это не есть очень хорошо.

После достраивания у нас есть некий угол сверху и несколько параллельных друг другу оснований снизу. Площадь треугольника зависит от основания квадратично -- как $a^2\cdot t$, где $t$ -- не важно, какой коэффициент; достаточно того, что общий. И если теперь $a$ -- нижнее основание исходной трапеции, $b$ -- верхнее и $x$ -- промежуточное, то отношение площадей тех частей трапеции, очевидно, есть $\frac{a^2\cdot t-x^2\cdot t}{x^2\cdot t-b^2\cdot t}$, вот и всё.

[spaits]

ewert в сообщении #542636 писал(а):

"Части" -- это не есть очень хорошо.

Части - в этом нет ничего плохого.

-- Сб фев 25, 2012 21:21:13 --

Ваше решение - самое короткое, возможно, теперь топикстартер поймет.