Вероятность попадания третьего числа в интервал двух первых

[pfx]

Не получается решить задачу, буду рад помощи:
Из множества чисел {1, 2, ..., N} выбирают 3 без возврата. Найти вероятность, что третье число попадёт в интервал, образованный первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.

Обозначим B: n1 < n2, А: n12 < n3 < n12. Тогда нам нужно найти P(A|B).

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{N(AB)}{N(B)}$ \\ $N(B) = \sum_{i=1}^{N-1} i(N-i) = \frac{N(N^2 - 1)}{6}$

C N(AB) всё как-то слишком сложно. Найти число комбинаций, при которых между двумя первыми есть «зазор» несложно, а вот с «зазором»... По-моему, я совсем не то делаю, должно быть простое решение.

[gris]

Третье и второе число можно для наглядности поменять местами. Тогда тройка разных чисел будет упорядочена по возрастанию.

[Someone]

Предположим, что Вам сообщили, какие три числа были выбраны, но не сказали, в каком порядке. Какова вероятность, что третье находится между первым и вторым? При том самом условии, что первое меньше второго.

[PAV]

В дополнение к уже приведенным подсказкам добавлю свою: ответ не зависит от $N$.

[pfx]

Someone, так значительно проще, спасибо.
1/3, так как число может быть между первыми двумя, правее или левее. В ответе тоже 1/3.
Правда, возможна ситуация когда первые два числа идут подряд. Тогда число возможных исходов при выпадении третьего числа и n1 < n2 будет 5, а вероятность 1/5. Попробовал частотный анализ с помощью программки, выдаёт 1/3.

[gris]

Возьмите произвольную тройку чисел, хоть $\{1,2,3\}$ и просто выписав варианты перестановок найдите условную вероятность. Да, она равна $1/3$, так как из трёх троек, в которых первое число меньше второго, только одна удовлетворяет условию, что третье лежит в промежутке. Поскольку вероятность не зависит от тройки, то эта же вероятность будет и для всего набора $N$ чисел.

[pfx]

gris, понятно, спасибо!
PAV, спасибо!

[PAV]

Под занавес добавлю еще один маленький комментарий о том, что по сути произошло в задаче. У нас было некоторое пространство элементарных исходов, состоящее из троек $(x,y,z)$ чисел. Все исходы были равновероятны. Однако для нахождения вероятности требуемого события это пространство было слишком сложным, каждый исход содержал излишнюю информацию, которая нам была не нужна. Нам требовалось только знать порядок следования чисел в тройке, но не сами эти числа. Поэтому мы поставили в соответствие каждой такой тройке последовательность рангов, то есть одну из шести новых троек $(123),\cdots,(321)$, задающих порядок. Тем самым мы отобразили одно пространство элементарных исходов в другое, более удобное для решения нашей задачи. Легко показать, используя форму этого отображения и структуру исходного вероятностного пространства, что все эти шесть новых исходов также являются равновероятными. Остается только понять, что вопрос задачи в новом вероятностном пространстве - это нахождение некоторой простой условной вероятности $P(A|B)$, где событие $A$ содержит две тройки $(123),(321)$, а событие $B$ - три тройки $(123),(132), (213)$.

[pfx]

PAV, спасибо за отличное объяснение! Только в Вашем примере $A$ и $B$ другие. У меня получилось, что $A$ содержит $(132), (312)$, а $B$ — $(123), (132), (231)$, т.е. как говорил gris.

[gris]

Кстати, добавлю. Я немного поправил своё сообщение. Неправильно употребил слово "равновероятны". На самом деле равновероятность троек не обязательна, я имел в виду, что наша вероятность не зависит от выбора тройки. Тогда в формуле полной вероятности мы можем её просто вынести за скобку.

Не сочтите за назойливость, но добавлю ещё, после причудливых снов
Интересно, что условие, что первое число меньше второго, не влияет на ответ. Зато вносит в решение условную вероятность. Кстати, хорошее упражнение самому шевелить условия и получать новые задачи.

А вот что делать, если числа в задаче выбираются из всего множества натуральных чисел?