Решение уравнения

[Nikys]

Решить уравнение в действительных числах:
$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(4-x \sqrt{3})^2} = 1$

(Оффтоп)

ІІІ етап Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики, 21 січня 2012 року, м.?

-- 22.02.2012, 16:37 --

Мне саму идею бы, так как уже разное перепробовал. Метод Феррари слишком долгий и громоздкий, не для олимпиады, не сюда. А вот какой бы красивый метод найти...

[svv]

Пусть $y=x\frac{\sqrt{3}}{2}$. Если записать уравнение через $y$, получится:
$\frac 3{4 y^2}+\frac 1{4(2-y)^2}=1$
Здесь очевидный корень $y=1$.

[scwec]

Сделайте замену $\frac{1}{x}=\sin\varphi$

[nnosipov]

svv в сообщении #541622 писал(а):

Здесь очевидный корень $y=1$.

Но дальше получается кубическое уравнение, которое придётся решать тригонометрической подстановкой. Впрочем, по формуле Кардано тоже выйдет.

[Nikys]

scwec
Пробовал, но че-то не сильно получалось. Попробую ещё раз, может поможет.
nnosipov
Вот-вот, я всё это время пытался это уравнение как-то попроще свести...Просто как вам сказать. Это уровень областной олимпиады, пусть и задача №4 из 5. Обычно туда что угодно, имеющее отношение к комплексным числам не впихивают.

Пробую снова тригонометрией

[hippie]

Ответ: $\{ \frac 2{\sqrt 3} ;\ \frac 1{\cos \frac {5\pi}{18}} ;\ \frac 1{\cos \frac {17\pi}{18}};\ \frac 1{\cos \frac {29\pi}{18}} \}$

Вот одно из возможных решений.

Сделав замену $t=\frac 1x ,$ и умножив всё на знаменатель второй дроби, получаем: $16t^4-8\sqrt 3 t^3-12t^2+8\sqrt 3 t-3 = 0.$
Последнее уравнение можно переписать в виде $(2t-\sqrt 3 )(8t^3-6t+\sqrt 3) = 0.$ Таким образом, либо $t= \frac {\sqrt 3}2 ,$ либо $ 4t^3-3t = -\frac {\sqrt 3}2 .$
В первом случае $x= \frac 2{\sqrt 3} .$
Во втором случае сделаем замену $t= \cos \varphi .$ Тогда $\cos 3\varphi = -\frac {\sqrt 3}2 = \cos \frac {5\pi}6 .$ Отсюда получаем ещё 3 возможных значения $t:$
$t = \cos \frac {5\pi}{18} ;$
$t = \cos \frac {17\pi}{18} ;$
$t = \cos \frac {29\pi}{18} .$

Возвращаясь к переменной $x$ получаем 4 возможных корня.

(Оффтоп)

PS У Вас написано

Nikys в сообщении #541612 писал(а):

ІІІ етап Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики, 21 січня 2012 року, м.?

То в якому ж місті було запропоновано цю задачу???

PPS А чи є статистика, скільки учнів її розв'язали???

[nnosipov]

Nikys в сообщении #541690 писал(а):

Пробую снова тригонометрией

Вот это почти беспроигрышный вариант. Любое кубическое уравнение, имеющее три вещественных корня, линейными заменами можно свести к уравнению вида $4x^3-3x=a$, после чего сделать подстановку $x=\cos{t}$ (это способ избежать комплексных чисел и формулы Кардано). Единственная проблема --- ответ может получиться в не самом простом виде. Вот типичный пример такой ситуации: уравнение $x^3-21x+7=0$.

[scwec]

Nikys, поясню, что я имел ввиду. С помощью указанной замены можно вообще избежать получения уравнений 3-й, 4-й степеней.
Действительно, если $\sin\varphi=\frac{1}{x}$, то $\frac{1}{(4-x\sqrt{3})}=\pm\cos\varphi$.
Заменяя $x$ во втором выражении получаем: $\frac{\sin\varphi}{4\sin\varphi-\sqrt{3}}=\pm\cos{\varphi}$
Приводя к общему знаменателю: $\sin\varphi=\pm(2\sin{2}\varphi-\sqrt{3}\cos\varphi)$. Перенося последний член в левую часть и деля все на $2$: $\sin\frac{\pi}{6}\sin\varphi\mp\cos\frac{\pi}{6}\cos\varphi=\pm\sin{2}\varphi$.
Или: $\cos(\varphi\pm\frac{\pi}{6})=\pm\sin{2}\varphi$. Дальше рассматриваются 4 варианта комбинаций $+,-$ и находятся $\varphi$, а с ними и $x$
Мне кажется, устроители олимпиады предполагали что-то вроде этого.

[Nikys]

hippie
О! Большое спасибо! :) Запишу себе на заметку.

(Оффтоп)

До цього не цікавився, але зараз пошукав. Місто Тернопіль. На жаль, статистика по кожній задачі не наводиться, а лише загальна картина. Максимальна кількість балів - 18 з 35 (51,4%). Я думаю, саме цю задачу не дуже й багато зробили. Я думаю, що переможець хіба і міг розв'язати цю задачу, бо минулого року він посів 3 місце на Всеукраїнській олімпіаді на межі, хоча воні не сильно і складні.

nnosipov
Большое спасибо, думаю, в преддверииобластной олимпиады мне это пригодится.

(Оффтоп)

Мы, к сожалению, одна из тех областей, которые до сих пор не написали олимпиаду, спасибо погодным паникёрам.

scwec
Да, это и предполагали, в принципе. Они два метода привели, хотя второй у них все равно сведется к первому.
Цитирую:

Цитата:

ІІ спосіб
Введення заміни $t=(2-\sqrt{3})$. Тоді $x=\frac{2-t}{\sqrt{3}}$.
Отримаємо рівняння: $\frac{3}{(2-t)^2}+\frac{1}{(2+t)^2}=1$.