Задача по нахождению угла в треугольнике

[BENEDIKT]

Задание: в треугольнике $ABC$ медиана $BD$ равна половине $AC$. Найти угол $B$ треугольника.

Итак, об углах ничего не известно. О равнобедренности треугольника не сказано. Медиана здесь не есть высота и биссектриса. Она равна половине противолежащей стороны, значит, в треугольниках $ADB$ и $BDC$ равны по $2$ стороны, но едва ли равны углы между ними. С чего можно начать?

[bot]

ABC на что-то опирается.

[BENEDIKT]

Простите, не понимаю.

[Алексей К.]

Простите, но это же так легко исследуется!
Берём, рисуем отрезок $AC$ и точку $D$ на нём. Посрединке, естественно.
(А, что? Его длина неизвестна? Да любой длины нарисуем! Потом, если понадобится, увеличим/уменьшим.)
И теперь десяток-другой возможных медиан $BD$ нарисуем (циркуль поможет, да и линеечкой можно отложить: вправо, влево, вверх, сильно вправо, сильно влево, итд). И для каждой медианы треугольничек $ABC$ дорисуем.

И что, кто-то утверждает, что у всех этих треугольников одинаковый угол $B$? Да на каком основании? (это мы так думаем над задачей)

[Joker_vD]

BENEDIKT в сообщении #541874 писал(а):

С чего можно начать?

Нарисуйте чертеж и пометьте равные отрезки.

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #541874 писал(а):

в треугольнике $ABC$ медиана $BD$ равна половине $AC$.

Значит, те два треугольничка, на которые делится исходный треугольник медианой -- они какие?... И что тогда известно про углы в этих треугольничках?...

[gris]

Что бы ещё такое придумать... А, вот:
Отразим точку $B$ симметрично относительно $D$. Получим параллелограмм с равными диагоналями!

[BENEDIKT]

ewert в сообщении #541886 писал(а):

Значит, те два треугольничка, на которые делится исходный треугольник медианой -- они какие?...

Равные? Но ведь имеет место лишь равенство треугольников по 2-м сторонам? А как быть с углами между ними? Ведь BD - не высота, а значит, угол $BDC$ не равен углу $ADC$?

gris в сообщении #541889 писал(а):

Что бы ещё такое придумать... А, вот:
Отразим точку $B$ симметрично относительно $D$. Получим параллелограмм с равными диагоналями!

Прошу прощения, но задача из раздела "Прямоугольный треугольник". Не могу задействовать параллелограммы.

[gris]

Если из прямоугольного раздела, то какие же могут быть вопросы?

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #541891 писал(а):

Но ведь имеет место лишь равенство треугольников по 2-м сторонам? А как быть с углами между ними?

Никак -- они не нужны. Каждый из этих двух треугольничков -- он сам по себе какой?...

Впрочем, если тема "прямоугольный треугольник", то, скорее всего, в решении предполагалось описать вокруг него окружность.

[BENEDIKT]

gris в сообщении #541892 писал(а):

Если из прямоугольного раздела, то какие же могут быть вопросы?

Понятно, что искомый угол B - прямой. Проблема заключалась лишь в том, как к этому придти.

ewert в сообщении #541893 писал(а):

Каждый из этих двух треугольничков -- он сам по себе какой?...

Равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны. Теперь всё ясно.
Благодарю всех за помощь!

-- Чт фев 23, 2012 14:56:04 --

Прошу прощения, ошибочка с моей стороны. Углы при основаниях этих треугольников равны. Но как доказать, что углы $DAB$ и $ABD$, равные между собой, имеют одинаковую градусную меру с равными между собой углами $DBC$ и $BCD$?

-- Чт фев 23, 2012 14:58:53 --

ewert в сообщении #541893 писал(а):

Впрочем, если тема "прямоугольный треугольник", то, скорее всего, в решении предполагалось описать вокруг него окружность.

Нет, боюсь, что здесь такого нет.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

BENEDIKT
И все-таки, я так и не понял, как вы могли это не увидеть сразу, если вы сделали чертеж с пометками?

ewert в сообщении #541893 писал(а):

Впрочем, если тема "прямоугольный треугольник", то, скорее всего, в решении предполагалось описать вокруг него окружность.

Странное решение. Ведь доказательство, что опирающийся на диаметр вписанный угол — прямой, по-хорошему выводится из этой задачи. Или есть обходной путь?

-- Чт фев 23, 2012 15:00:59 --

Нет, все-таки чертеж вы не сделали.

Вам это и не нужно доказывать. Сложите вместе все уголки, и у вас получится $180^\circ$.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #541897 писал(а):

Ведь доказательство, что опирающийся на диаметр вписанный угол — прямой, по-хорошему выводится из этой задачи.

Ну я уже не помню, что из чего выводится. Но вообще-то утверждение насчёт прямого угла -- это частный случай соотношения между центральным и вписанным углами. Которое выводится вроде как совершенно безотносительно к диаметрам.

BENEDIKT в сообщении #541895 писал(а):

Углы при основаниях этих треугольников равны. Но как доказать, что углы $DAB$ и $ABD$, равные между собой, имеют одинаковую градусную меру с равными между собой углами $DBC$ и $BCD$?

А они и не имеют, и нам совершенно не нужно, чтобы они что-то имели. Чему равна сумма всех этих четырёх углов -- и, следовательно, чему равна сумма тех двух, которые нам нужны?...

[Joker_vD]

BENEDIKT
Вот вам даже чертеж:

На 1) нанесено исходное условие — сразу бросаются в глаза равнобедренные треугольники, поэтому на 2) доотмечаем их углы.

Теперь складывайте все помеченные углы.

ewert
Хм, да, надо бы посмотреть.

[bot]

Ого-го понаписали! А что сразу из опирания на диаметр никак было?

Что касается измерения его половинкой дуги - это да равнобедренный треугольник там возникаети и стало быть опирающийся вдвое меньше центрального.