Эквивалентность континумов

[svloyso]

Здравствуйте. На лекции курса "функциональный анализ" преподаватель сделал следующие утверждения: интервал (0,1) эквивалентен следующим объектам:
1. замкнутому отрезку [a,b]
2. прямоугольнику плоскости [a,b]x[c,d]
3. параллелепипеду пространства [a,b]x[c,d]x[e,f]

Доказательства он не приводил, но сказал, что они существуют и мы можем их найти. Во-первых я не могу уложить в голове эти утверждения, я в них просто не верю. Какие могут существовать биекции из открытого интервала в замкнутый отрезок и тем более в прямоугольник или параллелепипед? Если предположить, что биекция каких-либо двух отрезков, образованных пересечением двух любых прямых и этим прямоугольником на плоскости соответствует неким двум частям отрезка (0,1), например, (k,l) и (q,r), то получается, что количество таких отрезков заключенных между l и q конечно, а количество отрезков, заключенных между отрезками на прямоугольнике, бесконечно.
Я не понимаю. Наверное, я мыслю слишком узко и нужно копать в совершенно ином направлении.

Буду рад приведенным доказательствам, либо ссылками на любые источники, где эти доказательства приводятся и объясняются.
Благодарю за уделенное внимание.

[gris]

Про отрезок и интервал одинаковой длины. Легко представить, как к счётному множеству можно добавить элемент и устроить биекцию. Это известная история о гостинице с бесконечным числом номеров. Ну а в интервале вполне можно выделить счётное подмножество и добавить к нему конец интервала. Биекция будет состоять из двух биекций. Это можно формализованно написать.
Попробуйте не только понимать, а ощущать биекции между бесконечными множествами, постепенно усложняя случаи.

Кстати, биекция не обязана быть непрерывной. Может быть это смущает?

[Бабай]

Да, биекцию интервала и сегмента можно попробовать сделать либо вручную, либо пользоваться например теоремой Шрёдера-Бернштейна. Биекцию декартова произведения сегментов и сегмента можно пробовать делать "послойно".

Об упомянутой теореме смотрите в книге Зорича по матану. Там, кстати, пункт 1. содержится как задачка.

[svloyso]

gris, благодарю, про биекцию компакта и открытого интервала я понял.
Бабай, а вот про послойную биекцию части плоскости и прямой я не могу осознать. Получается, чтобы отобразить весь прямоугольник послойно в часть прямой, нам нужен "континуум континуумов", т.е. несчетное число континумов. Но если отображать каждый "слой" прямоугольника в некоторый участок прямой, то число этих участков при любом раскладе будет счетно! Я не понимаю.

to gris. Да, вы правы, я и пытаюсь прочувствовать эти биекции. С первым пунктом, благодаря вам, у меня получилось, а вот с остальными двумя пока что никак.

[ИСН]

Ну возьмите и прочитайте стандартное доказательство, на манипуляциях с цифровой записью. Это трудно догадаться, действительно. Надо прожить с этим знанием не один год, чтобы развилось чутьё.

-- Ср, 2012-02-22, 21:59 --

Бабай, Вы какое такое "послойно" имели в виду?

[PAV]

svloyso
возьмите два числа, записанных в виде бесконечных десятичных дробей. А теперь подумайте, как их "упаковать" в одну. (Это вроде как слить две гостиницы с бесконечным числом номеров).

[Dan B-Yallay]

Бабай

ИСН в сообщении #541694 писал(а):

Бабай, Вы какое такое "послойно" имели в виду?

Да, и про биекцию "вручную" поясните тоже пожалуйста.

[svloyso]

to ИСН: буду вам очень благодарен, если вы мне скажете, откуда можно эти доказательства взять.
to PAV: про "слияние" двух чисел в одно я подумаю, спасибо за идею.

-- 22.02.2012, 21:35 --

to PAV: то есть если у нас две координаты записаны в виде беск. десятичных дробей:

$$x = 0.x_1x_2x_3\ldots x_{n-1}x_nx_{n+1}\ldots$$

$$y = 0.y_1y_2y_3\ldots y_{n-1}y_ny_{n+1}\ldots$$

то мы можем создать биекцию:

$$f(x,y) = 0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\ldots x_{n-1}y_{n-1}x_ny_nx_{n+1}y_{n+1}\ldots$$

По построению отображение инъективно (для любых двух различных пар x и y мы построим различные дроби) и сюрьективно (любая дробь разобьется на пару чисел)

Я не силен в строгих математических доказательствах. Достаточны ли приведенные выше рассуждения для того, чтобы считать утверждение 2 (и 3 соответственно) доказанным?

[Dan B-Yallay]

svloyso в сообщении #541700 писал(а):

любая дробь разобьется на пару чисел

На какие числа разобьётся 0.1919191919191919191919.... ?

[ИСН]

Вот, это и есть стандартное, но там будут дырки с исключениями (Dan B-Yallay Вам любезно указывает одну), и их надо заткнуть.

[svloyso]

to ИСН, Dan B-Yallay: число 0.19191919191919... разобьется соответственно на 0.111111111... и 0.999999999... Не вижу дырки.

[a_nn]

В одну сторону дырка, в другую - наоборот... пуговица, наверное.

[ИСН]

Это пока Вы не попробовали то число, которое разобьётся на 0.1111111... и 1.000000...

[ewert]

svloyso
То, на чём Вы застряли -- это общая теорема: при добавлении к любому бесконечному множеству любого счётного (тем более конечного) множества его мощность не изменится. Попытайтесь найти эту теорему в вашем курсе; она там наверняка есть, и именно в этом абстрактном варианте. После чего все недоумения насчёт конкретных отрезков и т.п. становятся уже праздными.

Ваше же негодование обусловлено, скорее всего, инстинктивной привычкой к непрерывности отображений, встречающихся на практике. Но если речь о мощностях -- никакой непрерывности даже не то что не предполагается: даже само это понятие в этой теме не предусмотрено.

[PAV]

На мой взгляд, здесь проще всего метнуть гранату в виде Кантора-Бернштейна, которая все одним махом решит. Ее все равно знать надо при изучении этой темы.

(Не надо строить биекцию. Вложение отрезка в прямоугольник строится очевидным образом, теперь постройте обратное вложение, не требуя инъективности - там проблем не будет).