Внешняя мера

[xmaister]

Дано определение внешней меры: $\mu^*(A)=\inf \left\{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)|A_n\in\mathcal{A}, A\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\right\}$. Мне непонятно, почему такое задание $\mu^*$ исключает неоднозначность? А если рассмотрим множество $A\in\mathcal{A}$, тогда $\mu^*(A)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu (A)$? . Дальше сказано, что если $X\not\in\mathcal{A}$, то $\mu^*$ задаётся указанной формулой на всех $A$, которые можно покрыть счетной последовательностью множеств из $\mathcal{A}$. Почему именно покрыть, а не сделать так, чтобы $A$ являлось собственным подмножеством объединения этой счетной последовательности?

[PAV]

xmaister в сообщении #540825 писал(а):

А если рассмотрим множество $A\in\mathcal{A}$, тогда $\mu^*(A)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu (A)$?

Это тоже может быть одним из вариантов, входящих в множество "возможных покрытий". Но там же от этого множества берется точная нижняя грань, а она определена однозначно.

[xmaister]

Спасибо, PAV.
Ещё такой вопрос: Сначало говорится, что множество $A$ называется измеримым по Лебегу относительно $\mu$, если $\forall\varepsilon >0\exists A_{\varepsilon}\in\mathcal{A}:\mu^*(A\Delta A_{\varepsilon})<\varepsilon$. Т.е. если речь идёт об измеримости относительно $\mu$ то подразумевается, что оно измеримо по Лебегу относительно $\mu$ или есть ещё какие-либо определения измеримости кроме как по Лебегу?

[Padawan]

Есть еще такие варианты:
1) множества $A$ называется измеримым, если $\mu^* (A)=\mu_* (A)$, где $\mu_*(A)=\mu(X)-\mu^*(X\setminus A)$ (предполагается, что исходная алгебра множеств содержит все пространство $X$, мера которого конечна);
2) Множество $A$ называется измеримым относительно внешней меры $\mu^*$, если для любого множества $B\subset X$ выполнено $\mu^*(A)=\mu^*(B\cap A)+\mu^* (B\cap (X\setminus A))$.

Вроде все эти определения приводят к одному и тому же классу измеримых множеств.