dx^2 и (dx)^2 - это ведь разные штуки?

[integral2009]

Ведь $d(x^2)$ может быть меньше нуля?

Под $dx^2$ подразумевается $d(x^2)$? Правильно ли понимаю, что $d(x^2)\ne (dx)^2$?

Как посчитать $dy^2$ в точке $(2;-3)$, зная, что $4x^2+y^2=25$?

Можно так? Пусть $z=y^2$

$z=25-4x^2$

$dz=-8xdx$

$dy^2=-8xdx$

[JMH]

Ответ у Вас правильный. А путанница с обозначениями неизбежна :) Имеют место три различные ситуации:
1) $(dx)^2=dx\cdot dx$
2) $d^2x=d(dx)$
3) $d(x^2)$
Так что записывать просто $dx^2$ - занятие нездоровое...

-- Вс фев 19, 2012 18:23:21 --

Поправка, такая запись вполне естественна, если обозначает свободную переменную во втором дифференциале, но это не Ваш случай.

[integral2009]

JMH в сообщении #540777 писал(а):

Ответ у Вас правильный. А путанница с обозначениями неизбежна :) Имеют место три различные ситуации:
1) $(dx)^2=dx\cdot dx$
2) $d^2x=d(dx)$
3) $d(x^2)$
Так что записывать просто $dx^2$ - занятие нездоровое...

-- Вс фев 19, 2012 18:23:21 --

Поправка, такая запись вполне естественна, если обозначает свободную переменную во втором дифференциале, но это не Ваш случай.

Спасибо. А во втором дифференциале - какая ситуация из этих трех?

[JMH]

Говоря строго - ни одна из трёх, во втором дифферециале, опять-таки строо говоря, это просто обозначение переменной, по которой ведётся дифференциирование. Но я всё-таки рискну сказать, что по смыслу (по крайней мер физическому) - это первый случай.
Имейте ввиду, если на этот мой пост обратят внимание серьёзные товарищи, то съедят и косточек не оставят...

[Someone]

$dx^2$ - это всегда $(dx)^2$, то есть, квадрат $dx$. $dx$ - это единый символ, а не "произведение $d$ на $x$". Если Вам нужен $d(x^2)=2x\,dx$, пишите скобки явно.

Причина именно такого подхода к расстановке скобок состоит в том, что символ $dx$ встречается очень часто (вместо буквы $x$, естественно, может быть любая другая), в отличие от специально $d(x^2)$, и это позволяет существенно уменьшить количество скобок в формулах.

[bot]

В интегрировании никогда не встречается $(dx)^2$, поэтому там с целью экономии скобок можно поступать наоборот: $dx^2=d(x^2)$

[integral2009]

Спасибо, понятно.