Ряд Лорана

[samson4747]

Всё чётко с этими рядами, да не совсем. По теореме Лорана разлагаю всю жизнь, сейчас не получается. Есть функция $f(z)=\dfrac{1}{z^2+2z}$, в области $2<|z|<+\infty$ разложил, а вот в области $0<|z+2|<4$, не могу. Как я понимаю, функция в этом круге не аналитична, туда особая точка $z=0$, попадает, как быть?

[ewert]

samson4747 в сообщении #540713 писал(а):

как быть?

Никак. Раскладайте в области $0<|z+2|<2$.

[samson4747]

В задании чётко написано $0<|z+2|<4$, аж огорчился, за день разложил около пары десятков функций каждую примерно в трёх областях, а тут на тебе, вот следующее задание $f(z)=\dfrac{1}{(z^2-1)(z^2+4)}$ в области $0<|z+2|<4$, опять две особые точки в область попали.

[ИСН]

Точно так же. Две точки - значит, три области: до первой, между первой и второй, и после второй.

[samson4747]

ИСН в сообщении #540737 писал(а):

Точно так же. Две точки - значит, три области: до первой, между первой и второй, и после второй.

Нет, мне так не кажется, центр данной области в точке $-2$, радиуса $4$, а особые точки $1$ и $-1$ на оси $\mathop{\text{Im}}z$.

[ИСН]

Я имел в виду три концентрических кольца, конечно.

-- Пн, 2012-02-20, 00:15 --

Или два, если две точки там это самое. Но арифметика остаётся на Вашей совести.

-- Пн, 2012-02-20, 00:18 --

Так, посмотрел арифметику и заинтересовался: две точки в области? точно? перечислите вообще все особые точки, с указанием "входит"/"не входит".

[samson4747]

Уверен что Скорее всего область не нужно разбивать, в первом примере понутно какие кольца вы имеете ввиду, их два, а вот во втором примере никак три кольца не получить только два.

-- 20.02.2012, 00:21 --

Цитата:

перечислите вообще все особые точки, с указанием "входит"/"не входит".

в первом примере это $-2$, $0$, входит $0$.
во втором: $-2$, $i$, $-i$, $2$, входит $i$ и $-i$.

[ИСН]

У Вас перепутаны либо "+" и "-" в функции, либо действительные и комплексные корни.

[samson4747]

ИСН в сообщении #540751 писал(а):

У Вас перепутаны либо "+" и "-" в функции, либо действительные и комплексные корни.

$f(z)=\dfrac{1}{z^2+2z}$
$f(z)=\dfrac{1}{(z^2-1)(z^2+4)}$
функции такие, в суммарно четырёх областях разложил обе функции, а в оставшейся области $0<|z+2|<4$ попадают особые точки... как быть?

[ИСН]

У Вас перепутаны либо "+" и "-" во второй функции, либо её действительные и комплексные особые точки.

[samson4747]

ИСН в сообщении #540755 писал(а):

У Вас перепутаны либо "+" и "-" во второй функции, либо её действительные и комплексные особые точки.

Действительно, $-2i$, $2i$, $-1$, $1$но это всеравно мешает разложить функцию в Ряд Лорана, так как функция не аналитична в данной области, что посоветуете?(хотя бы с первой функцией)

[ИСН]

То же, что всегда в этом случае: раскладывать в таких кольцах, в которые не попадают особые точки.

[samson4747]

Почему же тогда область задана $0<|z+2|<4$? А не $0<|z+2|<2$, $2<|z+2|<4$? Во всех примерах всё нормально, а тут такая досада...

Нигде просто не встречалась такая некорректная постановка задачи.

[ИСН]

[samson4747]

тускловато на горизонте пока, но всеравно Спасибо ИСН