Частные производные 2 порядка от неявной функции

[tdayne]

Всем привет. Подскажите, как найти частные производные 2го порядка от неявной ф-ии z(x,y)

Уравнение: $x^2+y^2+z^2=a^2$

Первого порядка нашел: $ \partial z/\partial x = -x/z \partial z/\partial y=-y/z$

Каким образом найти 2й порядок?

[arseniiv]

Дифференцируйте дальше две полученные:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right).$$

[tdayne]

Хорошо. по $x$ тогда 2я производная: $z/x$, а по $y$ $z/y$
В ответе не так. Я использвал формулу

$\partial z/\partial x = (\partial F/\partial x)/(\partial F/\partial y)$

-- 19.02.2012, 22:42 --

Если по Вашему, тогда

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right).=-1/z$$

Ответ не такой почему-то

[arseniiv]

Значит, первая неправилньая.

[tdayne]

Первая правильная. Ответ первой сошелся. Это номер 3383 из Демидовича.

[arseniiv]

Странно.

(Оффтоп)

Пойду-ка я спать, раз ничего не вижу.

-- Пн фев 20, 2012 00:52:12 --

А, точно! $z$-то расписать надо. Это ведь не константа. Так что получается, что неправильно продифференцировали первую.

[tdayne]

А можно чуть поподробнее, выразить $z$ и подставить в $-x/z$ , потом дифференцировать? Брехня получается
Первая лекция по частным была, пытаюсь сейчас разобраться с примерами.

[arseniiv]

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac xz\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac x{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\right) = \ldots$$

Или лучше получите вторую так, как получили первую (дифференцировали первое равенство?).

[tdayne]

arseniiv в сообщении #540717 писал(а):

Или лучше получите вторую так, как получили первую (дифференцировали первое равенство?).

нет, просто сделал по этой формуле: $\partial z/\partial x = -(\partial F/\partial x)/(\partial F/\partial y)$

так, сделал по Вашему, получил производную по иксу: $(-y^2-a^2)/(a^2-y^2-x^2)^{3/2}$ беда

[samson4747]

У меня получился ответ если дифференцировать $ \partial z/\partial x = -x/z$, как частное.

тобишь: $-\left(\dfrac{z-x\cdot(-x/z)}{z^2}\right)$