Преобразовать еще одно уравнение.

[integral2009]

Преобразовать уравнение.

$x^4y''+xyy'-2y^2=0$

$x=e^t$

$y=u(t)e^{2t}$

(ответ должен получиться такой)

$\dfrac{d^2u}{dt^2}+(u+3)\dfrac{du}{dt}+2u=0$

Есть идея, что нужно пользоваться формулой.

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'_t}{x'_t}$

Есть идея тупо подставить $x=e^t$ и $y=u(t)e^{2t}$ в эти уравнения. Однако не вышло, получилось выражение, которое содержит экспоненту, от которой не избавиться.

Подскажите, пожалуйста, как можно преобразовать?

[ИСН]

Тупо подставить. Ответ не проверял, но если он правильный, то любая цепочка правильных преобразований приведёт в конце концов к нему.

[integral2009]

ИСН в сообщении #540636 писал(а):

Тупо подставить. Ответ не проверял, но если он правильный, то любая цепочка правильных преобразований приведёт в конце концов к нему.

Спасибо просто смущает то, что в уравнении $\dfrac{dy}{dx}$. Разве мы можем так просто сделать $\dfrac{d(ue^t)}{dt}$?

[ИСН]

Тупо подставьте сначала что-нибудь одно. Потом, через несколько лет, когда уляжется муть, а участники событий отсидят в тюрьме и напишут мемуары - подставьте второе.

[Joker_vD]

$dy=d(u(t)e^{2t})$
$dx=d(e^t)$

[integral2009]

Спасибо. Точно, все получилося!

[arseniiv]

(Пока я писал этот ответ, он оказался не совсем нужным. Но не удалять же!)

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(u'e^{2t} + 2ue^{2t})dt}{e^t dt} = u'e^t + 2ue^t$$

$$\frac{d(ue^t)}{dt} = u'e^t + ue^t$$

Не равны. Потому что вы посчитали $\dfrac{d(\frac yx)}{dt}$.