Задача с определителями

[Sonic86]

Пусть $A$ - прямоугольная матрица размером $m \times n, m>n$ над $\mathbb{Z}$, а $B$ - матрица $n\times n$, полученная из $A$ заменами нескольких столбцов на столбцы их сумм. Доказать (а может и опровергнуть), что $\gcd\{M_A\}\mid\det B$, где $\{M_A\}$ - множество всех возможных миноров наибольших матрицы $A$.

(Оффтоп)

не знаю, насколько хорошо задача получилась

[hippie]

Не уверен, правильно ли я понял условие задачи. Надеюсь, что всё-таки правильно.

gcd это НОД?
При замене двух столбцов на их сумму, каждый $n\times n$-минор, содержащий новый столбец, представляется в виде суммы (или разности) двух $n\times n$-миноров исходной матрицы. Поэтому наибольший общий делитель $n\times n$-миноров новой матрицы кратен наибольшему общему делителю $n\times n$-миноров исходной матрицы.
После того, как выполним $m-n$ замен, получим матрицу $B,$ все $n\times n$-миноры которой (а проще говоря $\det B$) будут кратны наибольшему общему делителю $n\times n$-миноров матрицы $A.$

[Sonic86]

Да, Вы все правильно поняли И задача получилась простой.