Кол-во комбинаций игральный костей

[e2e4]

Что-то сомневаюсь в ответе, помогите пожалуйста.
Сколько существует оригинальных комбинаций пяти обычных игральных костей (с шестью гранями)? Кости не пронумерованы, поэтому 1-2-3-4-5 и 5-4-3-2-1 и 3-1-4-2-5 и т.п. - одна и та же комбинация.

[Brukvalub]

312 ?

[maxal]

Это число сочетаний с повторениями из 6 по 5, оно же число неотрицательных целых решений уравнения $x_1+\dots+x_6=5$ (с интерпретацией: $x_i$ = количество костей, на которых выпало число $i$), оно же биномиальный коэффициент ${10\choose 5}=252.$

[Brukvalub]

А я считал так: если все цифры различны, то комбинаций 6, если все совпадают, то тоже 6, если ровно две цифры совпадают, то 6Х10, если ровно три цифры совпадают, то 6Х10, если ровно 4 цифры совпадают, то 30, если ровно две разных пары совпадающих цифр, то 6Х5Х4=120, если две и три цифры совпадают, то 30. Всего получается 312?

[e2e4]

Вообще-то, не могу найти в рассуждениях Brukvalub'а ошибки...

[RIP]

Brukvalub писал(а):

если ровно две разных пары совпадающих цифр, то 6Х5Х4=120

Здесь.

[maxal]

Brukvalub писал(а):

если ровно две разных пары совпадающих цифр, то 6Х5Х4=120

Здесь ошибка. Нужно разделить пополам, и результат будет меньше на 60: 312-60 = 252.

[Brukvalub]

Действительно, я проврался, например, посчитал наборы ( 1,1,2,2,3) и (2,2,1,1,3) как разные два раза. Вот она какая коварная, комбинаторика!

[e2e4]

Да, действительно. Brukvalub дважды посчитал одни и те же комбинации.

maxal, я постараюсь сам разобраться, но если бы вы пояснили, был бы вам признателен: почему именно полиномиальный коэффициент ${10\choose 5}$ ?

[RIP]

Количество решений уравнения $x_1+x_2+\ldots+x_k=n$ в целых неотрицательных $x_j$ равно коэффициенту при $x^n$ в $\left(\frac1{1-x}\right)^k$, т.е. $(-1)^n\binom{-k}n=\binom{n+k-1}n$

[e2e4]

Спасибо.

[PAV]

Есть и другой известный способ получить данный ответ. Представьте себе таблицу, в которой 6 ячеек. В первой мы ставим столько плюсов, сколько костей выпало со значением 1. Во второй - столько костей со значением 2. И так далее. Всего мы распределяем по ячейкам таблицы 5 плюсов.

Теперь запишем все эти плюсы в строчку, причем между плюсами разных ячеек будем ставить разделители (палочки). Если некоторая ячейка пустая, то будут рядом стоять два разделителя. Всего будет в строке 5 плюсов и 5 разделителей.

Например, строка |++|||++|+ означает, что на 2-х костях выпали двойки, на двух - пятерки и еще на одной - шестерка.

Легко показать, что существует биективное соответствие между всеми строками длины 10, состоящими из 5 плюсов и 5 разделителей, и всеми комбинациями костей.

Очевидно же, что число указанных строк есть в точности $10\choose 5$. Таким же образом получается общая формула $n+k-1\choose n$

[e2e4]

Интересно.

Скажите вот еще что: правильно ли я понимаю, что вероятность выкинуть, скажем, пять одинковых цифр, равна 6/252, а вероятность выкинуть скажем, четыре одинаковых цифры - 30/252, выкинуть не менее чем четыре одинаковых цифры - 36/252?

[PAV]

e2e4 писал(а):

Скажите вот еще что: правильно ли я понимаю, что вероятность выкинуть, скажем, пять одинковых цифр, равна 6/252,

Неправильно. Дело в том, что посчитанные 252 различных исходов не являются равновероятными, поэтому пользоваться классической формулой нельзя.

Данная задача проще всего решается, если мы будем считать кости различимыми (или, что то же самое, что одна кость бросается последовательно 5 раз). На вероятность интересующего нас события это не влияет.

Соответственно, в этом случае мы имеем $6^5=7776$ исходов, которые равновероятны. Указанному событию благоприятствуют 6, т.е. вероятность равна $\frac{6}{7776}=\frac{1}{1296}$.

[e2e4]

Ясно, PAV.
Спасибо всем!