Преобразовать уравнение (д.у.)

[integral2009]

Преобразовать уравнение $y'y'''-3y''^2=x$ взяв за $y$ новую независимую переменную.

В чем заключается задание? Как можно преобразовать?

[svv]

Ясно, что надо сделать: введем $z=y'$, тогда уравнение относительно $z$ будет уже второго порядка. Такое всегда можно сделать, когда само $y$ не входит в уравнение, а только производные.

Но вот формулировка "взяв за $y$ новую независимую переменную" абсолютно непонятна. Понятно было бы "взяв $y'$ за новую независимую переменную" (найдите 2 отличия).

[integral2009]

svv в сообщении #540222 писал(а):

Ясно, что надо сделать: введем $z=y'$, тогда уравнение относительно $z$ будет уже второго порядка. Такое всегда можно сделать, когда само $y$ не входит в уравнение, а только производные.

Но вот формулировка "взяв за $y$ новую независимую переменную" абсолютно непонятна. Понятно было бы "взяв $y'$ за новую независимую переменную" (найдите 2 отличия).

Согласен с вами. Просто в демидовиче есть такая глава "преобразование уравнений", а не понижение порядка дифференциального уравнения. Задача 3431

[мат-ламер]

В Фихтенгольце в первом томе есть параграф на эту тему.

[hippie]

В этом задании нужно рассмотреть не $y,$ как функцию от $x,$ а $x,$ как функцию от $y.$
Тогда
$x'=\frac {dx}{dy} = \frac {1}{y'},$
$x''=\frac {d^2 x}{dy^2} = \frac {d}{dy}\frac {1}{y'} =\frac {\frac {d}{dx}\frac {1}{y'}}{\frac{dy}{dx}} = \frac{\frac{-y
и т.д.
Найдя достаточное количество производных можно будет преобразовать исходное уравнение в нужную форму.

[svv]

Вот оно что...

[integral2009]

мат-ламер в сообщении #540246 писал(а):

В Фихтенгольце в первом томе есть параграф на эту тему.

Спасибо, но не нашел (а искал)...

-- Вс фев 19, 2012 15:29:51 --

hippie в сообщении #540257 писал(а):

В этом задании нужно рассмотреть не $y,$ как функцию от $x,$ а $x,$ как функцию от $y.$
Тогда
$x'=\frac {dx}{dy} = \frac {1}{y'},$
$x''=\frac {d^2 x}{dy^2} = \frac {d}{dy}\frac {1}{y'} =\frac {\frac {d}{dx}\frac {1}{y'}}{\frac{dy}{dx}} = \frac{\frac{-y
и т.д.
Найдя достаточное количество производных можно будет преобразовать исходное уравнение в нужную форму.

Спасибо. Я нашел 3 производную

$$x'''=\Big( \frac{-y

Не уж-то это все нужно подставлять в исхходное уравнение ,долго и мучительно избавляясь от производных игрека по икс раличных порядков?

Может есть альтернативный способ попроще?

[hippie]

integral2009 в сообщении #540486 писал(а):

Спасибо. Я нашел 3 производную

$$x'''=\Big( \frac{-y

К сожалению, третья производная найдена неправильно .
Пересчитайте! Когда правильно найдёте третью производную — ответ станет очевидным!

[integral2009]

hippie в сообщении #540494 писал(а):

integral2009 в сообщении #540486 писал(а):

Спасибо. Я нашел 3 производную

$$x'''=\Big( \frac{-y

К сожалению, третья производная найдена неправильно .
Пересчитайте! Когда правильно найдёте третью производную — ответ станет очевидным!

секунду, сейчас пересчитаю.

-- Вс фев 19, 2012 18:41:30 --

Получается так

$x'''=\dfrac{3y''-y'''}{y'^4}$

А как дальше?

-- Вс фев 19, 2012 19:25:12 --

$y'=\dfrac{1}{x'}$

$y''=-x''y'^3$

$y'''=-3x''y'^3-y'^4x'''$


$y'=\dfrac{1}{x'}$

$y''=-x''y'^3=-\dfrac{x''}{x'^3}$

$y'''=-3x''y'^3-y'^4x'''=-\dfrac{3x''}{x'^3}-\dfrac{x'''}{x'^4}$


Подставляя полученные результаты в исходное уравнение, имеем

$\dfrac{1}{x'}\Big(-\dfrac{3x''}{x'^3}-\dfrac{x'''}{x'^4}\Big)-\dfrac{x''^2}{x'^6}=x$


$-\dfrac{3x''}{x'^4}-\dfrac{x'''}{x'^5}-\dfrac{3x''^2}{x'^6}=x$


$-3x'^2x''-x'x'''-3x''^2=x\cdot x'6$

$x'x'''+3(x'^2+x'')x''+xx'^6=0$

С ответом не совпадает. А почему?

Ответ такой: $x'''+xx'^5=0$

Быть может $x'^2+x''=0$ но почему?