Лимит

[bot]

Вот как то причина равенства предела нулю здесь совсем скрыта

mr.tumkan в сообщении #540030 писал(а):

$\ldots =\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)+\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=\ldots =\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$

И раскладывать синус суммы - это чесать задней ногой переднее ухо.
Сдвиг аргумента на $\pi$ в синусе или косинусе меняет его знак, поэтому $\ldots =\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)+\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n\sin\dfrac{4\pi }{n+2}=0$

[Dan B-Yallay]

mr.tumkan в сообщении #540030 писал(а):

$$=\lim\limits_{n \to \infty}\Bigl[\sin\Big(\pi(n-2)\Big)\cos\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)+\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)\cos\Big(\pi(n-2)\Big)\Bigl]=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$$

Hадо аккуратнее:

$$\begin{align} & \lim\limits_{n \to \infty}\Bigl[\sin\Big(\pi(n-2)\Big)\cos\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)+\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)\cos\Big(\pi(n-2)\Big)\Bigl]=\Big[^{\sin (\pi(n-2))=0}_{\cos(\pi(n-2))=(-1)^n} \Big]\\ &= \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=0 \end{align}$$

mr.tumkan в сообщении #540038 писал(а):

А как тут быть? $\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)$

$$=\lim\limits_{n \to \infty}n^2 (-1)\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big) $$

Дальше - первый замечательный предел "в лоб".
Или если не понятно - домножить и разделить на $\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)$ а затем все равно первый замечательный.

[Doil-byle]

mr.tumkan в сообщении #540007 писал(а):

Ведь синус гуляет от -1 до 1 и такой предел не существует, как мне кажется. Но тут, после такой замены синус стал стремиться не к тому, чему нужно, вроде как. Можно ли вообще тут делать такую замену?

$n=1,2,3...; t=1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}..., \frac{\pi}{t} = \pi, 2\pi, 3\pi...$
Так что не особо я и ошибся, можно и первый замечательный при такой замене использовать, только делить синус на другое бесконечно малое выражение надобно.

[mr.tumkan]

Dan B-Yallay в сообщении #540066 писал(а):

mr.tumkan в сообщении #540030 писал(а):

$$=\lim\limits_{n \to \infty}\Bigl[\sin\Big(\pi(n-2)\Big)\cos\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)+\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)\cos\Big(\pi(n-2)\Big)\Bigl]=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$$

Hадо аккуратнее:

$$\begin{align} & \lim\limits_{n \to \infty}\Bigl[\sin\Big(\pi(n-2)\Big)\cos\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)+\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)\cos\Big(\pi(n-2)\Big)\Bigl]=\Big[^{\sin (\pi(n-2))=0}_{\cos(\pi(n-2))=(-1)^n} \Big]\\ &= \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=0 \end{align}$$

mr.tumkan в сообщении #540038 писал(а):

А как тут быть? $\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)$

$$=\lim\limits_{n \to \infty}n^2 (-1)\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big) $$

Дальше - первый замечательный предел "в лоб".
Или если не понятно - домножить и разделить на $\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)$ а затем все равно первый замечательный.

Спасибо, понял.