Доказать неравенство

[lampard]

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}\geqslant 3$

$a,b,c\geqslant 0$

Как можно доказать его без замены переменных?

Первое, что пришло в голову

$b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$

$a+c\geqslant 2\sqrt{ac}$

$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$

[Хорхе]

Упорядоченными наборами.

[lampard]

Хорхе в сообщении #539880 писал(а):

Упорядоченными наборами.

А это как?

[Хорхе]

Вот само неравенство.

Как его применить? Напишу для двух чисел, авось для трех сами придумаете.

$0<a\le b\Rightarrow 1/a\ge 1/b$. Применяя перестановочное неравенство, имеем $a/b+b/a \ge a/a + b/b = 2$.

[lampard]

Хорхе в сообщении #539887 писал(а):

Вот само неравенство.

Как его применить? Напишу для двух чисел, авось для трех сами придумаете.

$0<a\le b\Rightarrow 1/a\ge 1/b$. Применяя перестановочное неравенство, имеем $a/b+b/a \ge a/a + b/b = 2$.

Ой, спасибо. Как-то трудно это понять. Тут нужно шесть случаев рассматривать? Или все симметрично, пожтому не нужно? Есть ли способ попроще?

1) $a\leqslant b\leqslant с$

2) $b\leqslant a\leqslant с$

3) $a\leqslant c\leqslant b$

....

Интуитивно-индуктивно-подгоночнно следующее

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}\geqslant \dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{c}{c}\geqslant 3$

Но оперативки мне не хватает, чтобы это понять...

[Хорхе]

Не нужно шесть случаев, Ваше неравенство достаточно симметрично. Так что достаточно одного. Сделаю еще одну подсказку: перестановочное неравенство нужно применить дважды, а потом сложить. Будет где-то так, как Вы написали (особенно меня умилило последнее неравенство, верное, что характерно), только троечка будет выглядеть немного хитрее.

[ewert]

lampard в сообщении #539877 писал(а):

Как можно доказать его без замены переменных?

Только зачем это делать?... Замена ведь напрашивается, и после доведения её до конца всё автоматически становится тривиальным. А так зачем-то думать придётся, да ещё и думать над тем, в какую сторону думать...

[Dave]

lampard в сообщении #539877 писал(а):

Как можно доказать его без замены переменных?

Если не любите замену переменных, то можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним гармоническим, подставив туда суммы.

[Trius]

Можно прибавить справа 6, а слева к каждой дроби прибавить по 2, расписать полученные дроби и свести к очевидному неравенству.