Лимит

[mr.tumkan]

Найти предел последовательности или доказать его отсутствие

a)

$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)$

b) $\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)$


Мысли есть такие:

a)

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi(n^2-4)+4\pi }{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)+\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=$$

$$=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big( \pi n\Big)=0$$

b)

$\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\pi n\Big)=[0\cdot \infty]=\Big(\text{кто победит синус или эн квадрат?}\Big)$

[Dan B-Yallay]

mr.tumkan в сообщении #539993 писал(а):

a)

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi(n^2-4)+4\pi }{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)+\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=$$

Дальше расписать бы как синус суммы: $\sin(\alpha+\beta)$... $\alpha=\pi(n-2), \ \beta=\dfrac{4\pi }{n+2}$

mr.tumkan в сообщении #539993 писал(а):

$\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\pi n\Big)=[0\cdot \infty]=\Big(\text{кто победит синус или эн квадрат?}\Big)$

Победит квадрат. А почему - увидите, когда распишете синус суммы вверху.

[Doil-byle]

Можно сделать замену $n=\frac{1}{t}$ и воспользоваться первым замечательным пределом.
В первом тоже, по-моему, легче сделать замену $t=n+2$

[mr.tumkan]

Dan B-Yallay в сообщении #539997 писал(а):

mr.tumkan в сообщении #539993 писал(а):

a)

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi(n^2-4)+4\pi }{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)+\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=$$

Дальше расписать бы как синус суммы...

Спасибо. Вот, попытался расписать.

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi(n^2-4)+4\pi }{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\pi(n-2)+\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)=$$

$$=\lim\limits_{n \to \infty}\Bigl[\sin\Big(\pi(n-2)\Big)\cos\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)+\sin\Big(\dfrac{4\pi }{n+2}\Big)\cos\Big(\pi(n-2)\Big)\Bigl]=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$$

А зачем было расписывать? Можно ли было так сделать?

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n}{1+2/n}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$$

[Doil-byle]

mr.tumkan в сообщении #540001 писал(а):

А зачем было расписывать? Можно ли было так сделать?

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n}{1+2/n}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$$

Ага.

[mr.tumkan]

Все же мне не очевидно - как избавиться тут от неопределенности.
$\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\pi n\Big)=[0\cdot \infty]=$[/math]

[Doil-byle]

Я же говорю, используйте первый замечательный предел. Ну да, к этому надо выражение "подготовить". Возьмите замену, про которую я Вам написал и приведите выражение к виду замечательного предела.

[mr.tumkan]

Doil-byle в сообщении #540000 писал(а):

Можно сделать замену $n=\frac{1}{t}$ и воспользоваться первым замечательным пределом.
=

$\lim\limits_{n \to \infty}n^2\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+2}\Big)=\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{1}{t^2}\sin\Big(\dfrac{\pi}{t}\Big)=\Big(\text{а ведь это не есть хорошо!}\Big)=$

Ведь синус гуляет от -1 до 1 и такой предел не существует, как мне кажется. Но тут, после такой замены синус стал стремиться не к тому, чему нужно, вроде как. Можно ли вообще тут делать такую замену?

[ИСН]

Ради интереса посчитайте вот такой предел, очень похожий с виду на Ваш первый:
$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+{3\over2}}\Big)$

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540008 писал(а):

Ради интереса посчитайте вот такой предел, очень похожий с виду на Ваш первый:
$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+{3\over2}}\Big)$

$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+{3\over2}}\Big)=0$

$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+a}}\Big)=0\;\;(a=const)$

[Doil-byle]

Хотя нет, у меня одна ошибка.

[mr.tumkan]

Doil-byle в сообщении #540011 писал(а):

Хотя нет, у меня одна ошибка.

$\lim\limits_{t \to 0}\dfrac{\pi}{t}\ne 0$

-- 17.02.2012, 23:41 --

Забавно получилось=)

[ИСН]

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #540015 писал(а):

А чего - что-то совсем ужасное я написал?

-- 17.02.2012, 23:50 --

Я вот что имел ввиду

$$\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n^2}{n+a}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin\Big(\dfrac{\pi n}{1+a/n}\Big)=\lim\limits_{n \to \infty}\sin(\pi n)=0$$

[ИСН]

Да-да, я именно так и понял.

-- Сб, 2012-02-18, 00:51 --

Это-то и плохо.

-- Сб, 2012-02-18, 00:52 --

Вы числовой человек или буквенный? Если числовой, ну, проверьте численно, что ли..