Первый член и предел бесконечной последовательности

[Macavity]

Бесконечная последовательность \{x_n\}^\infty _{n=1} задана формулой x_n=nx_{n-1}-1 и x_0=C.
1. Определить (и доказать) для каких C последовательность имеет конечный предел (C принадлежит множеству действительных чисел).
2. Найти вид функции P=f(C), где C произвольное правильное решение для пункта 1, а P - предел последовательности, в которой x_0=C - первый член последовательности.

[maxal]

Умножим на $z^n$ и просуммируем по $n=1..\infty.$ Тогда

$$X(z) - C = z X'(z) - \frac{z}{1-z},$$

где $X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x_n z^n$ - производящая функция последовательности $\{x_n\}^\infty _{n=0}.$

Перепишем дифф. уравнение для $X(z)$ в виде:

$$\frac{\frac{z}{1-z} - C}{z^2} = \frac{z X'(z) - X(z)}{z^2}.$$

Интегрируя, имеем:

$$\ln\frac{z}{z-1} + \frac{C}{z} + K = \frac{X(z)}{z},$$

где $K$ - некоторая константа. Откуда:

$$X(z) = z \ln\frac{z}{z-1} + C + K z.$$

Нетрудно видеть, что предел коэффициентов $X(z)$ не зависит от $C$ и равен 0.

[Macavity]

maxal писал(а):

Нетрудно видеть, что предел коэффициентов не зависит от и равен 0.

С тем, что если предел существует, то он равен нулю - я согласен.


Но как будто он не для всех C существует.

[maxal]

Разложение $X(z)$ в ряд Лорана бесконечно в сторону отрицательных степеней $z$. Это противоречит исходному определению $X(z).$ Значит, предела $x_n$ не существует ни для какого $C,$ а радиус сходимости $X(z)$ равен $0$.

[RIP]

$y_n=\frac{x_n}{n!}$
$y_0=C,\ y_n=y_{n-1}-\frac1{n!}$
$y_n=C-\sum\limits_{k=1}^n\frac1{k!}=C-(e-1)+O\left(\frac1{n\cdot n!}\right)$
Поэтому конечный предел $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ существует лишь при $C=e-1$ и равен $0$

Добавлено спустя 1 час 19 минут 35 секунд:

maxal
Вы неправильно написали диффур. Правильно так:
$X(z)-C=z(zX(z))'-\frac{z}{1-z}$
Ваше уравнение не имеет решений даже в формальных степенных рядах от $z$.

[Macavity]

RIP писал(а):

$y_n=\frac{x_n}{n!}$
$y_0=C,\ y_n=y_{n-1}-\frac1{n!}$
$y_n=C-\sum\limits_{k=1}^n\frac1{k!}=C-e+O\left(\frac1{n\cdot n!}\right)$
Поэтому конечный предел $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ существует лишь при $C=e$ и равен $0$

Ваш ответ очень близок к истине, но похоже и Вы где-то ошиблись в выкладках...

[RIP]

Да, точно! Вместо $e$ должно быть $e-1$
Поправился.

[Macavity]

RIP писал(а):

Да, точно! Вместо $e$ должно быть $e-1$
Поправился.

Да, пять балов!

Могу сделать ссылку откуда взял задачу, а могу положить ещё одну задачу из того же источника?

[RIP]

Macavity писал(а):

Могу сделать ссылку откуда взял задачу, а могу положить ещё одну задачу из того же источника?

Лучше задачу.

[Macavity]

Вот вторая задача.

Бесконечные последовательности натуральных чисел \{x_n\}^\infty _{n=1} заданы формулами

$ \left\{ \begin{array}{l} x_0=C, \\ x_{n+1} = \frac 1 2 x_n, if(x_n=even)\\ x_{n+1} = x_n+9, if(x_n=odd) \end{array} \right. $

1. Найти для каких C указанные последовательности являются периодическими (начиная с x_0)
2. Что можно сказать об остальных последовательствах: непериодические (тогда почему) или становятся периодическими, начиная с некоторого x_k (какой характер периода, из каких элементов состоят)?
3. И вообще обе задачи имеют отношение к некой относительно новой области математики, к какой?

[Руст]

Первые два вопроса очевидны. Ясно, что при любом натуральном С, начиная с некоторого места члены не превзойдут 18. Соответственно периодическая последовательность если начинается от одного из членов 1,10,5,14,7,16,8,4,2,... (период) или
3,12,6,...(период) или
9,18,...
в остальных случаях придём к одному из этих периодов.

[Macavity]

Macavity писал(а):

3. И вообще обе задачи имеют отношение к некой относительно новой области математики, к какой?

Действительно, именно относительно новой - ей уже около пятидесяти лет от первой работы Рене Тома (хотя для математики это не срок). Речь идет о теории катастроф (хотя конечно могут быть и сомнения).

Всякое отклонение от решения в первой задаче приводит к расходимости (если пытаться решать её каким то численным методом приближения, то потребуется начальное приближение очень близкое к решению).

По Арнольду:

Цитата:

Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.

Руст писал(а):

Первые два вопроса очевидны. Ясно, что при любом натуральном С, начиная с некоторого места члены не превзойдут 18. Соответственно периодическая последовательность если начинается от одного из членов 1,10,5,14,7,16,8,4,2,... (период) или
3,12,6,...(период) или
9,18,...
в остальных случаях придём к одному из этих периодов.

Действительно, так и есть. Три найденых периода - это аттракторы, остальные случаи ими "притягиваются".
Подробнее об этих задачах в Соросовском образовательном журнале http://journal.issep.rssi.ru/articles/pdf/0006_110.pdf