Уравнение

[Бор]

Помогите решить ур-е.
x^y=y^x

Очевидно, что корень x=y. Какие еще есть корни? Предложите идею решения.[/code]

[RIP]

посмотрите здесь

[juna]

Но ведь здесь не просят найти рациональные решения.
Логарифмируем.
$y\cdot ln(x)=x\cdot ln(y)$
$\frac{y}{ln(y)}=\frac{x}{ln(x)}$
Если бы эта функция была инъективная, то кроме $x=y$ решений бы не было. Но это не инъекция, одинаковые ординаты встречаются для двух отрезков $y \in [1,e]$ и $x \in [e, \infty]$.
Поэтому берем любое $y \in [1,e]$, вычисляем $\frac{y}{ln(y)}=A$ и находим $x$ из уравнения $A=\frac{x}{ln(x)}$. К сожалению, оно неразрешимо непосредственно, поэтому можно использовать приближение $x=A \cdot ln(A \cdot ln(A\cdot ln(A\cdot ln(A\cdot.....))))$

[RIP]

Все решения с $y>x>0$ даются формулой

$$x=t^{\frac1{t-1}},\ y=t^{\frac t{t-1}},\ t>1.$$