Inequality

[man111]

If $a\geq b>0$, prove $\displaystyle \frac{(a-b)^2}{8a}\leq \frac{(a+b)}{2}-\sqrt{ab} \leq \frac{(a-b)^2}{8b}$

[hippie]

$\frac{(a-b)^2}{8a}\le \frac{(a+b)}{2}-\sqrt{ab} \le \frac{(a-b)^2}{8b}$

$\frac{(a-b)^2}{8a}\le \frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{2} \le \frac{(a-b)^2}{8b}$

$\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)^2}{a}\le 4(\sqrt a-\sqrt b)^2 \le \frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)^2}{b}$

$\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{a}\le 4 \le \frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{b}$

$(1+\frac{\sqrt b}{\sqrt a})^2 \le 4 \le (1+\frac{\sqrt a}{\sqrt b})^2$

$1+\frac{\sqrt b}{\sqrt a} \le 2 \le 1+\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$

$\frac{\sqrt b}{\sqrt a} \le 1 \le \frac{\sqrt a}{\sqrt b}$

[PAV]

Перемещено из олимпиадного раздела в учебный