С^бесконечность распределение - что это?

[Nimza]

Что имеется в виду под $C^{\infty}$-распределением, если оно не является функцией (формально, задаётся расходящимся интегралом)?

[Padawan]

Может быть имеется обычная обобщенная функция? Напишите, что за интеграл.

[Nimza]

У Франсуа Трева есть теорема

Цитата:

Обобщенное ядро (в смысле Шварца) $A(x,y)$ всякого псевдодифференциального оператора $A$ в $\Omega$ является $C^{\infty}$ функцией вне диагонали в $\Omega \times \Omega$.

Хотя в общем случае это ядро имеет вид

$$ A(x,y) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} e^{i(x-y)\xi} a(x,y,\xi) d\xi $$

где амплитуда $a(x,y,\xi) \in S(\Omega, \Omega)$. То есть интеграл может и не сходиться.

[Padawan]

Что значит $a(x,y,\xi)\in S(\Omega,\Omega)$ ?

[Nimza]

$S^{m}(\Omega,\Omega)$ это множество функций $a(x,y,\xi) \in C^{\infty}(\Omega \times \Omega \times \mathbb{R}^n)$ таких, что для любого компакта $K$ в $\Omega \times \Omega$ и для любых мультииндексов $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{Z}^n_+$ существует константа $C_{\alpha,\beta,\gamma}(K)$ такая, что

$$ | D^{\alpha}_{\xi} D^{\beta}_{x} D^{\gamma}_{y} a(x,y,\xi) | \leqslant C_{\alpha,\beta,\gamma}(K) (1+|\xi|)^{m - |\alpha|} $$

для всех $(x,y) \in K$, для всех $\xi \in \mathbb{R}^n$.

Тогда $S(\Omega,\Omega) = \cup_{m \in \mathbb{R}} S^m(\Omega,\Omega)$. Вокруг этих функциональных классов всё и крутится в этой теории. $S^m$ это амплитуды порядка $m$, $S$ это просто множество всех амплитуд.

[Nimza]

У меня есть подозрение, что это означает возможность регуляризовать ядро до $C^{\infty}$ функции. Поясню,

$$ e^{i(x-y)\xi} = - \frac{1}{|x-y|^{2k}} (\Delta_{\xi})^k e^{i(x-y)\xi} $$

Тогда, если ядро является функцией, то можно записать

$$ \int\limits e^{i(x-y)\xi} a(x,y,\xi) d\xi = - \int\limits e^{i(x-y) \xi} \frac{1}{|x-y|^{2k}} \Delta_{\xi}^k a(x,y,\xi) d\xi $$

просто проинтегрировав по частям. В случае же, если интеграл слева не сходится, всегда можно подобрать $k$ так, чтобы интеграл справа сходился абсолютно. И тогда справа будет $C^{\infty}$ функция на дополнении к диагонали $\Omega \times \Omega$. Но вот не нравится мне что-то это, ведь в таком случае не обязательно $a(x,y,\xi)$ обращается в нуль на бесконечности по $\xi$, а это подразумевается в таком "регуляризованном" определении $C^{\infty}$ функции.