Разности матриц

[kopern1k]

Пусть $A$ и $B$- матрицы размера $n\times n$, причем $A$ обратима. Возможны ли равенства: a) $AB-BA=E$; б) $AB-BA=A$

[AlexValk]

Ответ отрицательный и в а) и в б).
а) $AB-BA=E.$
б) $AB-BA=A\Leftrightarrow ABA^{-1}=B+E$.
В обеих задачах след правой части на $n$ больше, чем след левой.

(Оффтоп)

а) Используем свойство $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$. След левой части 0, а правой $n>0$.
б) Используем свойство $\operatorname{tr}\left(ABA^{-1}\right)=\operatorname{tr}(B)$. Cлед левой части $\operatorname{tr}(B)$, а правой $\operatorname{tr}(B)+n>\operatorname{tr}(B)$.

[kopern1k]

Да, именно так она и решается. Интересно есть ли другие способы решить её