Представление тензора

[VladTK]

У меня возник вопрос. Возможно наивный, но прошу сильно не пинать. Пусть у нас есть некоторый контравариантный тензор второго ранга $T^{\mu \nu}$ (не обязательно симметричный) в пространстве-времени Минковского, имеющий нулевую дивергенцию

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=0 $$

где $D_{\nu}$ - ковариантная производная.
Можно ли его представить в виде дивергенции тензора третьего ранга

$$ T^{\mu \nu}=D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha} $$

антисимметричного по последним двум индексам

$$ \psi^{\mu \nu \alpha}=-\psi^{\mu \alpha \nu} $$

?

Вроде как нельзя (например канонический тензор энергии-импульса свободного электромагнитного поля невозможно представить в такой форме), но как доказать это строго?

[Ilia_]

В общем случае, конечно, нельзя. Но верно обратное утверждение: возьмём произвольный антисимметричный по двум последним индексам тензор третьего ранга $ \psi^{\mu \nu \alpha}=-\psi^{\mu \alpha \nu} $. Тогда тензор $ T^{\mu \nu}=D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}$ имеет нулевую дивергенцию по второму индексу. Доказывается элементарно:

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}+D_{\alpha}D_{\nu} \psi^{\mu \alpha \nu}\right)=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha}\left(\psi^{\mu \nu \alpha}-\psi^{\mu \nu \alpha}\right)\right)=0$$

[Munin]

VladTK в сообщении #539042 писал(а):

Вроде как нельзя (например канонический тензор энергии-импульса свободного электромагнитного поля невозможно представить в такой форме), но как доказать это строго?

А почему нельзя-то? Берёте отдельные столбцы этого тензора как векторы, и сводите задачу к стандартной векторной (бездивергентное поле как ротор). Если вас смущает операция "брать отдельные столбцы", то берёте свёртки всех ваших формул по индексу $\mu$ с константными полями базисных ковариантных векторов. (Если ваша система координат криволинейная - то не базисных, а просто векторов параллельного сдвига пространства Минковского.)

[svv]

Munin писал(а):

А почему нельзя-то?

Присоединяюсь. За нас лемма Пуанкаре.

Возможно, VladTK имел в виду, что для канонического тензора энергии-импульса не существует красивого выражения требуемого вида через $A_i$ и $F_{ik}$? Даже если и так, это не значит, что не существует нужного тензора в математическом смысле, это просто "решение существует, но не записывается в радикалах". Понятно, ТС для работы нужна простая явная формула.

Кстати, почему упомянут именно канонический ТЭИ? Он ведь отличается от симметричного (метрического) как раз на величину $\operatorname{const}(A^i F^{kl})_{,l}$, так что утверждение справедливо или нет для обоих ТЭИ одновременно.

[epros]

Ilia_ в сообщении #539096 писал(а):

Доказывается элементарно:

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha} \psi^{\mu \nu \alpha}+D_{\alpha}D_{\nu} \psi^{\mu \alpha \nu}\right)=\frac12\left(D_{\nu}D_{\alpha}\left(\psi^{\mu \nu \alpha}-\psi^{\mu \nu \alpha}\right)\right)=0$$

Нельзя менять местами ковариантные производные (второе слагаемое).

[obar]

В пространстве Минковского можно: коммутатор пропорционален тензору кривизны.

[epros]

Да, точно. Не заметил, что речь шла о пространстве Минковского.

-- Чт фев 16, 2012 12:00:52 --

Тогда не понял зачем нужно вообще морочиться с ковариантными производными. Берём обычные производные в декартовых координатах, всё для них доказываем, после чего в силу тензорности всех величин все те же равенства оказываются верными для ковариантных производных в любых координатах.