Вязкая несжимаемая жидкость внутри вращающегося цилинра

[SterX]

Здравствуйте. Поставлена задача исследовать движение вязкой несжимаемой жидкости внутри вращающегося цилиндра радиуса L. Задача одномерная. Уравнения движения следующие:
$\rho_0 \frac {\partial u} {\partial t} = \frac 1 r \frac {\partial} {\partial r} (\mu r \frac {\partial u} {\partial r}) - \mu \frac {u} {r^2}$
$\frac {\partial P} {\partial r} = \rho_0 \frac {u^2} {r}$, где
$u$ - скорость по углу, $P$ - давление, $\rho_0$ - начальная плотность, $\mu$ - коэффициент динамической вязкости.
Граничные условия:
$r=0 \: u=0$
$r=L \: u=u_0$
Начальные условия:
$t=0 \: u=0 \: P=P_0$
1ое уравнение решается численно без проблем, 2ое интегрируется если известно поле скорости и граничное условие по давлению, но его нет. Но есть подозрение что в центре цилиндра ($r=0$) давление остается неизменным в течении всего процесса и тогда достаточно будет начального условия. Но у меня не получается строго это доказать. Как вы думаете, действительно ли давление в центре не меняется и если да, то как это можно доказать? Заранее спасибо.

[Himfizik]

Ну а соображениями симметрии здесь разве нельзя обойтись. Линии постоянного давления в такой жидкости наверняка осесимметричны ($P=P(r,h)=const$). Стремим радиус к нулю (точка - это окружность нулевого радиуса ), отсюда точка $r=0$ при фиксированном $h$ не поменяет своего давления.

[Oleg Zubelevich]

что-то непонятное написано. уравнение неразрывности вообще отсутствует, уравнение несжимаемости отсутствует, зато есть какой-то странный дифур на давление...

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #539170 писал(а):

какой-то странный дифур на давление

Уравнение неразрывности тут выполнено тождественно (в силу предположения $\[ {\mathbf{V}} = u\left( r \right){\mathbf{e}}_\theta \] $).
А "странное" - это радиальная составляющая уравнения Эйлера.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #539177 писал(а):

А "странное" - это радиальная составляющая уравнения Эйлера.

Уравнение Эйлера для вязкой жидкости. Это интересно.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #539179 писал(а):

Уравнение Эйлера для вязкой жидкости. Это интересно.

Буквоедство.

[Oleg Zubelevich]

SterX в сообщении #538802 писал(а):

2ое интегрируется если известно поле скорости и граничное условие по давлению, но его нет. Но есть подозрение что в центре цилиндра ($r=0$) давление остается неизменным в течении всего процесса и тогда достаточно будет начального условия

а в уравнениях движения несжимаемой вязкой жидкости давление вообще определено с точностью до адитивной функции времени

[SterX]

Himfizik в сообщении #538894 писал(а):

Ну а соображениями симметрии здесь разве нельзя обойтись. Линии постоянного давления в такой жидкости наверняка осесимметричны ($P=P(r,h)=const$). Стремим радиус к нулю (точка - это окружность нулевого радиуса ), отсюда точка $r=0$ при фиксированном $h$ не поменяет своего давления.

Всё дело в том, что давление так же является функцией времени.

Oleg Zubelevich в сообщении #539197 писал(а):

а в уравнениях движения несжимаемой вязкой жидкости давление вообще определено с точностью до адитивной функции времени

Вообще да, но конкретно здесь я думал есть возможность определить давление точно, используя только начальное условие

[Himfizik]

SterX в сообщении #540791 писал(а):

Всё дело в том, что давление так же является функцией времени.

Да, понимаю, рассматривали бы стационар, было б проще, с этой точки зрения.