Как найти момент инерции барабана?

[Munin]

Gees в сообщении #537542 писал(а):

Почему время перешло в аргумент, ведь производная находится по времени?

Вы неправильно прочитали формулу. Подразумевается вот это:
$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = ([\cos x]\cdot\cfrac{dx}{dt} , [- \sin x]\cdot\cfrac{dx}{dt}) $

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #537597 писал(а):

А если вектор будет иметь длину, не равную нулю, а координаты у него нули, то как искать производную такого вектора?

Такого вектора нет. По крайней мере в конечномерных линейных пространствах.

Gees в сообщении #537597 писал(а):

Смотря какие координаты у вектора, то есть он может как увеличиваться в длине с увеличением порядка производной, так и уменьшаться.

да

Gees в сообщении #537597 писал(а):

Я не вижу смысла в этих уравнениях и как они получились интересно?

Я вам вывод их по сути и написал.

Gees в сообщении #537597 писал(а):

Что в них зашифровано

В них ничего не зашифровано.

Gees в сообщении #537597 писал(а):

ведь "силовое" уравнение для движения барабана одно, так как он один ${P}-{T}={m}\cdot{a}$

То, что вы пишете - не правильно.

Gees в сообщении #537597 писал(а):

Если, конечно связать тот же второй закон Ньютона и импульс тела (барабана)

Если взять уравнение Ньютона для барабана: $ ma = F +T $, где $F$ - сила реакции опоры барабана, $T$ сила с которой верёвка тянет барабан вниз, то из того, что барабан покоится получим, что $ F+T =0 $, то есть, что сила реакции опоры равна по модулю и противоположна по направлению силы, с которой барабан тянет верёвку.

Gees в сообщении #537597 писал(а):

но как момент вращения связан с моментом импульса?

Я не знаю, что вы там называете "моментом вращения", но момент импульса связан с моментом силы как

Gees в сообщении #537574 писал(а):

$ I \cfrac{dL}{dt} =M $

Gees в сообщении #537597 писал(а):

как время могло заменить аргумент не понимаю...?

Никак, оно и не заменяло.

Gees в сообщении #537597 писал(а):

А почему параметр, как Вы его называете, стал после дифференцирования параметром

что?

[Gees]

Munin в сообщении #537690 писал(а):

Вы неправильно прочитали формулу. Подразумевается вот это:
$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = ([\cos x]\cdot\cfrac{dx}{dt} , [- \sin x]\cdot\cfrac{dx}{dt}) $

То есть имеется в виду производная от каждой координаты в отдельности?
А почему дифференциал не исчез $\dfrac{{d}{x}}{{d}{t}}$?

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #538767 писал(а):

А почему дифференциал не исчез $\dfrac{{d}{x}}{{d}{t}}$?

Это не дифференциал и потому что так вычисляется производная сложной функции.

[Munin]

Я не знаю заранее, что такое $x$ и $t,$ поэтому не могу предполагать, что это независимые переменные. Если бы это были независимые переменные, то производная одной по другой равнялась нулю:
$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (0 , 0). $
Но если между ними есть некоторая зависимость, явная или неявная, то такая производная будет равна какому-то ненулевому значению, и поэтому надо вычислять производную как производную сложной функции:
$\dfrac{d}{dt}f(x)=\dfrac{d}{dt}f(x(t))=\dfrac{df}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}.$

[Gees]

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

Такого вектора нет. По крайней мере в конечномерных линейных пространствах.

А если вектор начинается из начала координат?

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

да

Это я и хотел понять.

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

Я вам вывод их по сути и написал.

Я вывод не понял. Как сказать проще?

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

В них ничего не зашифровано.

Я имел в виду что в буквах зашифровано?

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

То, что вы пишете - не правильно.

Где я ошибся?

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

Если взять уравнение Ньютона для барабана: $ ma = F +T $, где $F$ - сила реакции опоры барабана, $T$ сила с которой верёвка тянет барабан вниз, то из того, что барабан покоится получим, что $ F+T =0 $, то есть, что сила реакции опоры равна по модулю и противоположна по направлению силы, с которой барабан тянет верёвку.

А почему барабан покоится?

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

Я не знаю, что вы там называете "моментом вращения", но момент импульса связан с моментом силы как
$ I \cfrac{dL}{dt} =M $

А почему это так?

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

Никак, оно и не заменяло.

${\cos{(t)}}{\neq}{\cos{(x)}}$, откуда в косинусе появилось ${t}$?

EvilPhysicist в сообщении #537738 писал(а):

что?

Я не понимаю что такое ${t}$ в косинусе.

-- 15.02.2012, 19:34 --

EvilPhysicist в сообщении #538770 писал(а):

Это не дифференциал и потому что так вычисляется производная сложной функции.

Понимать это как производная от производной?

-- 15.02.2012, 19:35 --

Munin в сообщении #538883 писал(а):

Я не знаю заранее, что такое $x$ и $t,$ поэтому не могу предполагать, что это независимые переменные. Если бы это были независимые переменные, то производная одной по другой равнялась нулю:
$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (0 , 0). $
Но если между ними есть некоторая зависимость, явная или неявная, то такая производная будет равна какому-то ненулевому значению, и поэтому надо вычислять производную как производную сложной функции:
$\dfrac{d}{dt}f(x)=\dfrac{d}{dt}f(x(t))=\dfrac{df}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}.$

Я не знаю сложная она или нет, но не понимаю что имеет в виду EvilPhysicist.

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #539027 писал(а):

А если вектор начинается из начала координат?

Да хоть откуда. Нету вектора с нулевыми координатами не нулевой длинны.

Gees в сообщении #539027 писал(а):

Я имел в виду что в буквах зашифровано?

$ \vec r $ - радиус вектор, $\vec v$ - вектор скорости.

Gees в сообщении #539027 писал(а):

Где я ошибся?

В том, что пишите уравнения не для моментов.

Gees в сообщении #539027 писал(а):

А почему барабан покоится?

Насадите барабан на железный прут. Он будет вращаться, но не будет двигаться.

Gees в сообщении #539027 писал(а):

А почему это так?

Потому что

EvilPhysicist в сообщении #537586 писал(а):

Уравнения Ньютона - основная причина того, что они равны.
$ \vec L = \vec r \times \vec v $ значит $ \cfrac{d \vec L}{dt} =\vec v \times \vec v + \vec r \times \vec a= \vec r \times \vec a = \cfrac{1}{m} \vec r \times \vec F = \cfrac{1}{m} \vec M $.

Gees в сообщении #539027 писал(а):

${\cos{(t)}}{\neq}{\cos{(x)}}$, откуда в косинусе появилось ${t}$?

Ниоткуда не появилось.

Gees в сообщении #539027 писал(а):

Понимать это как производная от производной?

Нет, это понимать как производную от сложной функции.

Gees в сообщении #539027 писал(а):

Я не знаю сложная она или нет, но не понимаю что имеет в виду EvilPhysicist.

Тогда Фифтенгольц, первый том, правила вычисления производных.

[Gees]

EvilPhysicist,
Munin
Дано: $D=0,8$ м, $m=3$ кг, $t=4$ с, $\omega=16$ рад/с.
Определить: $J=?$.
Решение:
1). Рисунок, иллюстрирующий решение задачи, приведён ниже. На нём показано, что на груз действуют сила ${G}={m}\cdot{g}$ тяжести и сила ${T}$ натяжения троса. Обе силы направлены вертикально. Поэтому, если направить координатную ось, вдоль которой отсчитывается перемещение груза, сверху вниз, основное уравнение динамики в проекции на эту ось будет иметь вид:
${G}-{T}={m}\cdot{a}$,
где ${a}$ - ускорение груза.

Так как
${a}=\dfrac{{\varepsilon}\cdot{D}}{2}=\dfrac{\omega}{t}\cdot\dfrac{D}{2}=\dfrac{{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}}$,

где ${\varepsilon}$ - угловое ускорение барабана, равное (при условии, что в начальный момент времени барабан неподвижен) $\dfrac{\omega}{t}$; ${t}$ - время, за которое барабан приобрёл угловую скорость ${\omega}$, то
$G-T=\dfrac{{m}\cdot{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}}$,
$T=G-\dfrac{{m}\cdot{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}}={m}\cdot{g}-\dfrac{{m}\cdot{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}}={m}\cdot{({g}-\dfrac{{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}})}$...(1)
Выражение (1) определяет силу натяжения троса. Поскольку, в свою очередь, сила натяжения троса, действуя на барабан, определяет закон его движения, то
${J}\cdot{\varepsilon}=\dfrac{{T}\cdot{D}}{2}={\dfrac{{m}\cdot{D}}{2}}\cdot{({g}-\dfrac{{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}})}$,
${J}\cdot\dfrac{\omega}{t}={\dfrac{{m}\cdot{D}}{2}}\cdot{({g}-\dfrac{{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}})}$,
${J}=\dfrac{{m}\cdot{D}\cdot{t}}{{2}\cdot{\omega}}\cdot{({g}-\dfrac{{\omega}\cdot{D}}{{2}\cdot{t}})}$,
${J}=\dfrac{{3}\cdot{0,8}\cdot{4}}{{2}\cdot{16}}\cdot{({9,81}-\dfrac{{16}\cdot{0,8}}{{2} \cdot{4}})}\approx{2,5}$ (кг · м2).
Ответ: $J=2,5$ (кг · м2).
А как через энергии решать?

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #539048 писал(а):

Дано: $D=0,8$ м, $m=3$ кг, $t=4$ с, $\omega=16$ рад/с.
Определить: $J=?$.

Если условия задачи

Gees в сообщении #535901 писал(а):

На барабан диаметром 0,8 метра намотан трос с закреплённым на конце грузом массой в 3 килограмма. Вращаясь равноускоренно под действием силы натяжения троса, барабан за 4 секунды приобрёл угловую скорость 16 радиан в секунду.Определить момент инерции барабана.

То всё элементарно:
Закон сохранения энергии $ \cfrac{J \omega^2}{2}=mgh $, ну а $ h= \cfrac{gt^2}{2} $ и значит $ \cfrac{J \omega^2}{2}=\cfrac{mg^2 t^2}{2} $, откуда $ J= \cfrac{m g^2 t^2}{\omega^2} $ и подставляя цифири $ J= \cfrac{3*100*16}{256}= 18,75 \text{кг}\text{м}^2$

Gees в сообщении #539048 писал(а):

основное уравнение динамики в проекции на эту ось будет иметь вид:
${G}-{T}={m}\cdot{a}$,

Основное уравнение динамики имеет вид $ \cfrac{d}{dt} \vec L = \vec M $, а вы пишите уравнения Ньютона. Дальше можно не читать.

[Gees]

EvilPhysicist в сообщении #539060 писал(а):

Если условия задачи

Gees в сообщении #535901 писал(а):

На барабан диаметром 0,8 метра намотан трос с закреплённым на конце грузом массой в 3 килограмма. Вращаясь равноускоренно под действием силы натяжения троса, барабан за 4 секунды приобрёл угловую скорость 16 радиан в секунду.Определить момент инерции барабана.

То всё элементарно:
Закон сохранения энергии $ \cfrac{J \omega^2}{2}=mgh $, ну а $ h= \cfrac{gt^2}{2} $ и значит $ \cfrac{J \omega^2}{2}=\cfrac{mg^2 t^2}{2} $, откуда $ J= \cfrac{m g^2 t^2}{\omega^2} $ и подставляя цифири $ J= \cfrac{3*100*16}{256}= 18,75 \text{кг}\text{м}^2$
Основное уравнение динамики имеет вид $ \cfrac{d}{dt} \vec L = \vec M $, а вы пишите уравнения Ньютона. Дальше можно не читать.

А я бы, решая по закону сохранения энергии, выполнил бы цепочку действий:
1). Определим угловое ускорение груза;
2). Определим угол поворота груза;
3). Определим перемещение груза;
4). Определим уменьшение потенциальной энергии груза;
5). Определим увеличение кинетической энергии груза;
6). Определим разность между результатом вычисления по пункту 4). и результатом вычисления по пункту 5). (Получим работу по приведению в движение барабана);
7). Определим искомый момент инерции (для этого умножим результат вычисления по пункту 6). на ${2}$ и разделим на ${16^2}$).
Должен получиться тот же ответ.

[rustot]

может все-таки $h = \frac{a t^2}{2}$ ? почему g? и потом кинетическую энергию груза забыли

[Gees]

EvilPhysicist
Раскройте пожалуйста левую часть приведенного Вами выражения и посмотрите, что получится.
Я имею в виду основное уравнение динамики для вращательного движения $\dfrac{{d}{\vec L}}{{d}{t}}={\vec M}$.
$\dfrac{{d}{\vec L}}{{d}{t}}={?}$
Не получается того, что Вы пишите, увы, нужно использовать второй закон Ньютона.

-- 15.02.2012, 21:06 --

rustot в сообщении #539072 писал(а):

может все-таки $h = \frac{a t^2}{2}$ ? почему g? и потом кинетическую энергию груза забыли

Да, на груз же действует сила тяжести, а барабан покоится, значит ${a}={0}$ для барабана.
Вот только что приводит в движение груз сама сила натяжения троса или сила действующая на нить со стороны груза?

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #539068 писал(а):

А я бы, решая по закону сохранения энергии, выполнил бы цепочку действий:
1). Определим угловое ускорение груза;
2). Определим угол поворота груза;
3). Определим перемещение груза;
4). Определим уменьшение потенциальной энергии груза;
5). Определим увеличение кинетической энергии груза;
6). Определим разность между результатом вычисления по пункту 4). и результатом вычисления по пункту 5). (Получим работу по приведению в движение барабана);
7). Определим искомый момент инерции (для этого умножим результат вычисления по пункту 6). на ${2}$ и разделим на ${16^2}$).
Должен получиться тот же ответ.

1,2 бессммысленны; 4,5 и 6 определится из 3; 7 не правильно.

rustot в сообщении #539072 писал(а):

может все-таки $h = \frac{a t^2}{2}$ ? почему g? и потом кинетическую энергию груза забыли

Никто не говорил, что барабан трётся о ось и препятствует движению груза.
А на счёт энергии, то нам не важна энергия груза. Нам важно, что вся энергия, которую получил барабан, это работа, которую совершило поле, перемещая груз.

Gees в сообщении #539073 писал(а):

Раскройте пожалуйста левую часть приведенного Вами выражения и посмотрите, что получится.
Я имею в виду основное уравнение динамики для вращательного движения $\dfrac{{d}{\vec L}}{{d}{t}}={\vec M}$.
$\dfrac{{d}{\vec L}}{{d}{t}}={?}$

В этих предложениях нет смысла.

Gees в сообщении #539073 писал(а):

Не получается того, что Вы пишите, увы, нужно использовать второй закон Ньютона.

Нет, не нужно.

[Gees]

rustot в сообщении #539072 писал(а):

может все-таки $h = \frac{a t^2}{2}$ ? почему g? и потом кинетическую энергию груза забыли

По закону сохранения энергии я бы выполнил такое решение:
1). ${\varepsilon}=\dfrac{\omega}{t}$;
2). ${\varphi}=\dfrac{{\varepsilon}\cdot{t^2}}{2}$;
3). ${s}=\dfrac{{\varphi}\cdot{D}}{2}$;
4). ${\Delta}{P}={m}\cdot{g}\cdot{s}$;
5). ${\Delta}{K}=\dfrac{{m}\cdot{({\dfrac{{\omega}\cdot{D}}{2})}^2}}{2}$

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #539082 писал(а):

По закону сохранения энергии я бы выполнил такое решение:
1). ${\varepsilon}=\dfrac{\omega}{t}$;
2). ${\varphi}=\dfrac{{\varepsilon}\cdot{t^2}}{2}$;
3). ${s}=\dfrac{{\varphi}\cdot{D}}{2}$;
4). ${\Delta}{P}={m}\cdot{g}\cdot{s}$;
5). ${\Delta}{K}=\dfrac{{m}\cdot{({\dfrac{\omega}\cdot{D}}{2})}}^2}}}{2}$

Вы делаете это не правильно!