Базис Гамеля

[xmaister]

Здравствуйте! В Колмогорове-Фомине приводится несколько задач про базис Гамеля.
1. Доказать, что в каждом линейном пространстве существует базис Гамеля.

(Решение)

Рассматриваю семейство $\mathscr{A}$ всех линейны подпространств, порождённых линейно независимыми элементами. И беру оттуда произвольную цепь $\mathscr{B}$. Тогда $\bigcup\mathscr{B}$- линейное пространство, т.е. цепь имеет максимальный элемент. По лемме Цорна в семействе $\mathscr{A}$ существует максимальный элемент $L'$. А т.к. $L'$- сущесвтует, то $L=L'$.

2.Доказать, что любые 2 базиса Гамеля имеют одинаковую мощность.

(Решение)

Получилось только для случая бесконечных мощностей.
Пусть $|\{x_\alpha\}|=\mathfrak{m}$, $|\{x_\beta\}|=\mathfrak{n}$. В силу существования и единственности представления векторов в виде конечной линейной комбинации элементов из базиса Гамеля. Мощность множества всех конечных подмножеств $\{x_\alpha\}$ имеет мощность $\mathfrak{m}$, тогда $\mathfrak{n}\le\mathfrak{m}$. Обратно, получаем, что $\mathfrak{m}\le\mathfrak{n}$, значит $\mathfrak{m}=\mathfrak{n}$

3. Доказать, что 2 линейных пространства изомоорфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковую алгебраическую размерность.
Проверьте и помогите дорешать.

Благодарю.

[Хорхе]

Первое как-то сомнительно. Откуда вполне упорядоченность возьмется? Можно придумать в этом направлении более простую конструкцию и одновременно правильную.

Второе неправильно. Оно совсем недавно тут обсуждалось, поищите.

Третье из второго следует очевидным образом.

[hippie]

1. Основная идея правильная. Только нужно рассматривать не линейные подпространства, а линейно независимые системы векторов, упорядоченные по вложению.
Тогда объединение любой цепи является её верхней гранью. Следовательно, существует максимальная линейно независимая система векторов. Это и есть алгебраический базис.

2. Ваше доказательство проходит только для случая базиса мощности больше континуума.
Если мощность базиса не более континуума, то мощность множества всех линейных комбинаций окажется равной континууму, независимо от мощности базиса.

3. В одну сторону следует из (2), в другую — в явном виде устанавливается изоморфизм. (Взаимно однозначно отображаем базис первого пространства на базис второго.)

[Хорхе]

hippie в сообщении #538803 писал(а):

2. Ваше доказательство проходит только для случая базиса мощности больше континуума.
Если мощность базиса не более континуума, то мощность множества всех линейных комбинаций окажется равной континууму, независимо от мощности базиса.

Поскольку в нем речь о подмножествах, то проходит оно только в случае поля из двух элементов.
Да и слово "континуум" тут совершенно не к месту, так как в поле может быть сколько угодно элементов.

[Padawan]

2. Не, отображение одного базиса в конечные подмножества другого правильное. Только его надо более аккуратно проанализировать. Оно "почти" инъективное -- прообраз каждого элемента конечен.

[Хорхе]

А, ну можно и так, правда.

[xmaister]

hippie в сообщении #538803 писал(а):

нужно рассматривать не линейные подпространства, а линейно независимые системы векторов, упорядоченные по вложению.

Не понял, почему нельзя рассматривать именно подпространства, порожденные линейно независимыми системами векторов. Семейство таких подпространств- частично упорядочено и каждая цепь имеет мажоранту. Где тут ошибка?

[Null]

Как вы докажете что объединение элементов цепи - подпространствo, порожденнoе линейно независимой системой векторов?