Размерность фактор-пространства

[xmaister]

Пусть $L$- линейное пространство, $L'$- его подпространство. Нужно доказать, что если $\dim L=n$, $\dim L'=k$, то $\dim L/L'=n-k$. Я думал предположить, что в $L/L'$ существует $n-k+1$ линейно независимых векторов, тогда:
$\left[(\alpha_1x_1+L')+\ldots +(\alpha_{n-k+1}x_{n-k+1}+L')=L'\Rightarrow \alpha_1=\ldots =\alpha_{n-k+1}=0\right]\Leftrightarrow$
$\left[(\alpha_1'x_1'+\ldots +\alpha_k'x_k'+L')+(\alpha_1x_1+L')+\ldots +(\alpha_{n-k+1}x_{n-k+1}+L')=L'\Rightarrow$
$\alpha_1=\ldots =\alpha_{n-k+1}=0]$, где $x_1',\ldots ,x_k\right]'$- базис в $L'$. Но отсюда не следует, что $\alpha_1=\ldots =\alpha_k'=\alpha_1=\ldots =\alpha_{n-k+1}=0$.

[wallflower]

Можно воспользоваться тем, что для линейного отображения $f:L_1\to L_2$ выполнено $\operatorname{dim}\operatorname{ker}f+\operatorname{dim}\operatorname{im}f=\operatorname{dim}L_1$.

[xmaister]

А можно ли это в лоб по определению доказать, не привлекая это свойство?

[wallflower]

То свойство легко доказывается (берём базис в ядре $L'$ канонического отображения $L\to L/L'$, дополняем до базиса $L$, а потом считаем вектора) так что это тоже в лоб. Только более красиво.

[svv]

Пусть $(x_i), i=1..k$ -- базис $L'$. Его можно дополнить до базиса $L$. Добавленных векторов будет $n-k$, и остается показать, что они будут базисом $L/L'$.

wallflower то же