Невырожденность матрицы.

[kopern1k]

В квадратной матрице $A$ размера $2n\times2n$ на главной диагонали стоят нули, а остальные элементы равны 1 или -1. Доказать, что определитель $A$ отличен от нуля.

[Ktina]

kopern1k в сообщении #538348 писал(а):

В квадратной матрице $A$ размера $2n\times2n$ на главной диагонали стоят нули, а остальные элементы равны 1 или -1. Доказать, что определитель $A$ отличен от нуля.

Постройте матрицу $B=A^2$
Затем докажите, что детерминант матрицы $A$ - нечётное число.

[bot]

По модулю 2 все минусы как ветром сдунет. В квадрат возводить незачем.

[Ktina]

bot в сообщении #538486 писал(а):

По модулю 2 все минусы как ветром сдунет. В квадрат возводить незачем.

Можно поподробней?

[bot]

$-1\equiv 1\pmod 2$. Прибавляем все строчки к первой и получаем в ней сплошь единицы, прибавляем её к остальным, получаем в них строки единичной матрицы.

[kopern1k]

Ktina в сообщении #538377 писал(а):

Постройте матрицу $B=A^2$
Затем докажите, что детерминант матрицы $A$ - нечётное число.

Я именно так и доказывал в своё время. Прибавлять строчки как-то не додумался.

[Dave]

Интересно, что если размер матрицы нечётный, то определитель матрицы рассматриваемого вида может равняться нулю. Кто приведёт пример?

[kopern1k]

Например, $A=$$\begin{pmatrix} 0 &-1 &1 \\ 1 & 0 &-1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

[Dave]

Я имел ввиду в общем случае. Например:
$a_{ij}=\begin{cases} (-1)^{i+j},&\text{если $i<j$;}\\ 0,&\text{если $i=j$;}\\ (-1)^{i+j+1},&\text{если $i>j$.} \end{cases}$

[bot]

Какие проблемы? Трудно что ли в нечётном случае плюсов и минусов в каждой строке сделать поровну?

[Dave]

bot в сообщении #538977 писал(а):

Какие проблемы? Трудно что ли в нечётном случае плюсов и минусов в каждой строке сделать поровну?

Не трудно. Но записать это формулой не каждый может

[nnosipov]

Dave в сообщении #538985 писал(а):

Но записать это формулой не каждый может

Но можно и одно слово сказать: кососимметричная.