Геометрический смысл билинейной формы и др.

[Nimza]

Ага) Ну это уже из тензорного смысла легко получается:

$$ a \wedge b (u,v) = \det \left( \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{array} \right) $$

А с внешней алгеброй $\Lambda \mathbb{R}^n$ как быть? Как её можно геометрически проинтерпретировать?

[svv]

$\Lambda^m \mathbb{R}^n$ -- ориентированные объемы $m$-мерных параллелепипедов в $\mathbb{R}^n$.

Кстати, не всякая линейная комбинация $k$-векторов может быть истолкована как объем, а только разложимые $k$-векторы.

[Nimza]

А с $\Lambda \mathbb{R}^n$ что делать, всё-таки? Просто как формальную конструкцию понимать?

[arseniiv]

($\TeX$)

Nimza в сообщении #538366 писал(а):

$\Lambda^{2} \mathbb{R}^3$

«Неправильно ты, дядя Фёдор, бутерброд ешь!»
$\bigwedge^2 \mathbb R^3$.

P. S. Ой, нет, вроде бы беру слова назад.

-- Вт фев 14, 2012 02:35:36 --

Nimza в сообщении #538435 писал(а):

А с $\Lambda \mathbb{R}^n$ что делать, всё-таки? Просто как формальную конструкцию понимать?

Ну это как $a^1$ или понимание одноэлементных строк в алфавите равными его символам.

[Nimza]

(Оффтоп)

arseniiv, Вы уверены, что там клин, а не лямбда? У меня в книжках, да и тут http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra лямбды стоят.

[arseniiv]

$\Lambda^0 \mathbb \mathbb R^n$ вот вообще скаляры содержит!

(2 Nimza.)

Nimza в сообщении #538445 писал(а):

arseniiv, Вы уверены, что там клин, а не лямбда? У меня в книжках, да и тут http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra лямбды стоят.

Как раз там только что смотрел и уверенность порастерял! (То сообщение немного отредактировал уже.) Но, в принципе, и клин должен быть логичным. Хотя если он не устоялся… то всё равно всё ещё не поздно исправить!

[Nimza]

arseniiv в сообщении #538444 писал(а):

Ну это как $a^1$ или понимание одноэлементных строк в алфавите равными его символам.

Почему $a^1$? Отсутствие степени это же не первая степень, а прямая сумма $\Lambda^0 \mathbb{R}^n \oplus ... \oplus \Lambda^n \mathbb{R}^n$.

[arseniiv]

Ой, простите, забыл.

Есть какая-то т. н. geometric algebra (дополненная чем-то алгебра Клиффорда вроде), так вот она на $\Lambda \mathbb R^n$ как раз разворачивается. (Планирую в ней поразбираться, а то пока она мне видится просто смесью из разных разделов.) Определяется геометрическое произведение $\mathbf{ab} = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \wedge \mathbf b$, и через него получаются всякие альтернативные выражения для уравнения гиперплоскости (что-то с мультивекторами, лежащими в ней, и радиус-вектором), пересечения и прочего. Авторы пишут, что это удобнее/быстрее считать.

Наверно, элементы $\Lambda \mathbb R^n$ в общем случае никак кроме формальных сумм не представить.

[Nimza]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #538455 писал(а):

Определяется геометрическое произведение

мать Римма писал(а):

До чего техника дошла

$\nabla f = \nabla \cdot f + \nabla \wedge f$.

Спасибо, не слышал про это, интересная штука.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #538455 писал(а):

Наверно, элементы в общем случае никак кроме формальных сумм не представить.

Надеюсь, как обычно, придёт alcoholist и расскажет, как он это представляет через площадки-объёмки

[svv]

Лямбда так относится к клину, как знак $\bigcup$ к знаку $\cup$.

[alcoholist]

Nimza в сообщении #538435 писал(а):

А с $\Lambda \mathbb{R}^n$ что делать, всё-таки? Просто как формальную конструкцию понимать?

Да, как градуированную алгебру.

Вообще, если есть какая-то форма объема, то $\Lambda^kV$ канонически изоморфно $\Lambda^{n-k}V^*$ ($n={\rm dim}\, V$), а если скалярное произведение, то и $\Lambda^kV^*$ -- кому-то функционалы геометричнее.

Nimza в сообщении #538458 писал(а):

Надеюсь, как обычно, придёт alcoholist и расскажет, как он это представляет через площадки-объёмки

Я лично вижу сумму двух площадок в $e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$

[Nimza]

alcoholist в сообщении #538465 писал(а):

Да, как градуированную алгебру.

Спасибо, очень жаль. Похоже в вопросе "любая ли математическая конструкция имеет воплощение в природе" я всё больше начинаю сдвигаться к отрицательному ответу.

Ах да, в $\Lambda V$ хоть как-то проявляется тензорная природа элементов? Или правда, что "если Вы хотите складывать тензоры с разным числом аргументов, то не старайтесь потом придумать этому интерпретацию"?

[alcoholist]

Nimza в сообщении #538508 писал(а):

Или правда, что "если Вы хотите складывать тензоры с разным числом аргументов, то не старайтесь потом придумать этому интерпретацию"?

я где-то читал, что древние греки так же относились к многочленам:))

Для них дико выглядело выражение $x+x^2$ потому, что непонятно как с длиной площадью складывать

[Munin]

И ведь они были правы, пока $x$ - размерная величина...

[Nimza]

Мне тоже многочлены в голову пришли, правда от нескольких переменных. $1 + x + yz$ похоже на "симметричный" аналог "кососимметричного" $1 + x + y \wedge z$ (в том смысле, что симметричное умножение заменили на кососимметричное).