Периодическая функция

[Ktina]

Может ли периодическая функция $f(x)$ удовлетворять условию

$$ \begin{cases} f^{(n)}(x)\cdot f(x)>0 \\ -\infty<x<+\infty \end{cases} $$

При некотором натуральном $n$?
(олимпиада "Студент и научно-технический прогресс")

[Dave]

Нет, не может. $f^{(n-1)}(x)$ - также периодическая функция, и, по теореме Ролля, её производная должна обращаться в $0$ на любом интервале, равном периоду.

[Dave]

Интересней другая формулировка:

Может ли периодическая функция $f(x)$, не являющаяся константой, удовлетворять условию

$$\begin{cases} f^{(n)}(x)\cdot f(x) \geqslant 0 \\ -\infty<x<+\infty \end{cases}$$

при некотором натуральном $n$?

[Ktina]

Dave в сообщении #538428 писал(а):

Интересней другая формулировка:

Может ли периодическая функция $f(x)$, не являющаяся константой, удовлетворять условию

$$\begin{cases} f^{(n)}(x)\cdot f(x) \geqslant 0 \\ -\infty<x<+\infty \end{cases}$$

при некотором натуральном $n$?

Видимо, там и было "или равно", да я проглядела.

[Dave]

При $n=1$ и $n=2$ не может. А при $n=4k$ может, например $f(x)=\sin x$.