1+2+4+8+... = -1

[J-A-P-H]

Я правильно понимаю, что стремление $a^n$ к нулю является единственным фактором, благодаря которому такай ряд сходится, а мой изначальный - нет?

[svv]

J-A-P-H писал(а):

Почему тогда
$1+a+a^2+a^3+a^4+...=1/(1-a)$ (где многоточие означает бесконечное количество слагаемых) верно для всех $-1<a<1$? Ведь тогда чушь должна получаться?

Потому что конечные суммы (твёрдый фундамент!)
$1$
$1+a$
$1+a+a^2$
$1+a+a^2+a^3$
и так далее -- обладают особым свойством: имеется такое число (а именно $\frac 1{1-a}$), к которому они неограниченно приближаются (в некотором точном смысле).

[J-A-P-H]

svv в сообщении #538356 писал(а):

J-A-P-H писал(а):

Почему тогда
$1+a+a^2+a^3+a^4+...=1/(1-a)$ (где многоточие означает бесконечное количество слагаемых) верно для всех $-1<a<1$? Ведь тогда чушь должна получаться?

Потому что конечные суммы (твёрдый фундамент!)
$1$
$1+a$
$1+a+a^2$
$1+a+a^2+a^3$
и так далее -- обладают особым свойством: имеется такое число (а именно $\frac 1{1-a}$), к которому они неограниченно приближаются (в некотором точном смысле).

И это всё?

[wallflower]

J-A-P-H в сообщении #538355 писал(а):

Я правильно понимаю, что стремление $a^n$ к нулю является единственным фактором, благодаря которому такай ряд сходится, а мой изначальный - нет?

В случае рядов типа $1+a+a^2+...$ да. Вообще же, стремление членов последовательности к нулю является необходимым, но не достаточным условием сходимости соотв. ряда; например, ряд $1+1/2+1/3+...$ расходится.

[J-A-P-H]

Извиняюсь, что не в тему, но:
Какие есть необходимые и достаточные условия сходимости ряда?

[wallflower]

Одно необходимое уже прозвучало (стремление слагаемых к нулю). Неплохую коллекцию практически полезных признаков вы найдёте в любом учебнике математического анализа.

[Padawan]

J-A-P-H
Определение. Ряд $a_1+a_2+a_3+\ldots$ сходится, если последовательность сумм $S_1=a_1$, $S_2=a_1+a_2$, $S_3=a_1+a_2+a_3$, ... , $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$, ... стремится к некоторому конечному числу $S$ (которое называется суммой ряда).

Определение. Последовательность $S_1, S_2, \ldots, S_n,\ldots $ стремится к числу $S$ (обозначается $S_n\to S$ при $n\to\infty$ или $\lim\limits_{n\to\infty} S_n=S$), если для любого числа $\varepsilon>0$ найдется число $N$ такое, что для любого номера $n>N$ выполнено $|S_n-S|<\varepsilon$.