Теорема о мощности конечного поля

[VAL]

Joker_vD в сообщении #537225 писал(а):

Есть поле характеристики пять, в котором содержится 25 элементов. В нем есть собственное подполе, изоморфное $\mathbb Z_p$. Остальные 20 элементов гуляют сами по себе.

Поле из пяти элементов — одно, с точностью до изоморфизма. А вот полей характеристики пять много, очень много! Собственно, их бесконечно много: это поле из пяти элементов, из 25, из 125, из 625, из $5^5$, из $5^6$ элементов и т.д.

Более того, имеются поля характеристики 5, содержащие бесконечно много элементов.

[Unconnected]

Цитата:

Более того, имеются поля характеристики 5, содержащие бесконечно много элементов.

Это типа как например поле, в котором бесконечно много подполей, мощность которых - степень простого числа?

[Joker_vD]

Башни, башни, башни расширений... можно, например, построить такое поле, содержащее $\mathbb Z_5$, что любой многочлен над ним будет иметь хотя бы один корень в этом же самом поле. Ясен пень, такое поле должно быть бесконечным. Такое поле будет содержать подполе из $5^2$ элементов, подполе из $5^3$, подполе из $5^4$, и так далее.

-- Пн фев 13, 2012 17:55:08 --

Хотя хочу сразу предупредить, что поле из $5^2$ элементов в поле из $5^3$ элементов вложить невозможно. Это сразу следует из той теоремы, которую мы доказывали.

[VAL]

Unconnected в сообщении #538229 писал(а):

Цитата:

Более того, имеются поля характеристики 5, содержащие бесконечно много элементов.

Это типа как например поле, в котором бесконечно много подполей, мощность которых - степень простого числа?

Можно и так. Например, можно взять алгебраическое замыкание поля $\mathbb Z_5$ (про это конструкцию написал Joker_vD).
А можно и иначе. Взять какое-нибудь трансцендентное расширение конечного поля. Скажем, поле частных кольца многочленов многочленов от одной переменных от над $\mathbb Z_5$.

[Unconnected]

Спасибо!

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #538063 писал(а):

посоветуете какой-нибудь задачник или что-то такое, где есть хорошие примеры со всякими структурами?

Есть Айрленд Роузен Классическое введение в современную теорию чисел, там есть глава 7 Конечные поля и задачки к ней. Есть также вышеупомянутый Лидл Нидеррайтер, в нем тоже есть задачи, в первых двух главах они еще не специальные.

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #536999 писал(а):

Sonic86
При всем моем уважении, вы неправы с методической точки зрения. У Unconnected имеются проблемы даже с тем, что из себя представляет $\mathbb Z_5$, а вы тут одинаково обозначаете и элементы $\mathbb Z$, и $\mathbb Z_5$, и $K$. Конечно, когда вы "букварь скурили", это правильно и удобно, и в повседневной работе все так и делают. Но когда вы хотите разъяснить механизму, стоит все-таки иметь для этих трех случаев разные обозначения.

Я все понял и теперь еще и проверил наконец-то. Я просто не так все делал: я строил подполе внутри данного поля. Соответственно мне вообще не нужны были никакие гомоморфизмы, различения элементов и т.п.. Хотя, возможно, это не общий прием, потому нежелательный в общем случае.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Sonic86
Так тоже можно; я подозреваю, без гомоморфизмов и прочих "абстрактных" вещей можно изложить ого-го какую часть курса... а не делают этого потому, наверное, что рано или поздно начинаются более "высокие" теории и приходится волей-неволей начинать работать с гомоморфизмами — а навыки-то откуда возьмутся? Тренироваться лучше на кошках.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Joker_vD, ну да, все правильно