связи в СТО и Галилеевой механике

[Ilia_]

ИгорЪ в сообщении #536810 писал(а):

Это была отписка, а не упражнение. А импульс и энергия сохраняются, что вы, надеюсь видите.

Давайте проверим, дописав в вашу функцию Лагранжа потенциальную энергию:

$$L=\sqrt{\dot{\vec q}\cdot\dot{\vec q}}-U(\vec q)$$

Сохраняющийся импульс:

$$\vec p=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec q}}=\frac{\dot{\vec q}}{|\dot{\vec q}|}$$

Энергия:

$$E=\vec p\dot{\vec q}-L=U(\vec q)$$

Разберём случай, предложенный Muninым. Функция Лагранжа двух частиц:

$$L=|\dot{\vec {q_1}}|+|\dot{\vec {q_2}}|-U(\vec {q_1},\vec {q_2})$$

Суммарный импульс:

$$\vec p=\sum_{i=1,2}\vec{p_i}=\sum_{i=1,2}\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec {q_i}}}=\frac{\dot{\vec {q_1}}}{|\dot{\vec {q_1}}|}+\frac{\dot{\vec {q_2}}}{|\dot{\vec {q_2}}|}$$

Общая энергия:

$$E=\sum_{i=1,2}\vec {p_i}\dot{\vec {q_i}}-L=U(\vec {q_1},\vec {q_2})$$

Видно, что сохраняется совсем не то, что должно. Гамильтониан такой системы не зависит от импульсов частиц, что явный абсурд.

[ИгорЪ]

Ilia_
Вообще то я задавал вопрос про связи для свободной частицы. Ну если вам всё же интересны уводящие влево( или вправо? ) комменты Мунина, то ваши вычисления не точны, надо учитывать связь при вычислении гамильтониана, добавляя лагранжев множитель и т.д. Иначе, даже для релятивистской свободной частицы получится просто ноль. Это известный факт.

-- Пт фев 10, 2012 15:58:52 --

Дело в том, что квадратичный и корневой лагранжианы эквивалентны с точночтью до связи. Вот я и хотел пообсуждать смысл связи.

[Ilia_]

ИгорЪ в сообщении #537053 писал(а):

Ilia_
ваши вычисления не точны, надо учитывать связь при вычислении гамильтониана, добавляя лагранжев множитель и т.д. Иначе, даже для релятивистской свободной частицы получится просто ноль. Это известный факт.

Разве?

$$L=-mc^2\sqrt{1-{\vec{v}}^2/c^2}$$

$$\vec p=\frac{\partial L}{\partial {\vec{v}}}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-{\vec{v}}^2/c^2}}$$

$$E=\vec p\vec v-L=\frac{m\vec{v}^2}{\sqrt{1-{\vec{v}}^2/c^2}}+mc^2\sqrt{1-{\vec{v}}^2/c^2}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-{\vec{v}}^2/c^2}}$$

И, как следствие, получаем вашу связь:

$$E^2=m^2c^4+\vec{p}^2c^2$$

Не могли бы поподробнее объяснить (или сослаться на учебник), как именно используются множители Лагранжа для получения функции Гамильтона? При варьировании действия, наверное? Быстрое пролистывание ЛЛ результатов не дало, да и Google на запрос "Гамильтониан системы со связью" ничего содержательного не даёт.

[ИгорЪ]

Ну положим это не связь, а просто энергия или гамильтониан. Связь - это зависимость переменных. У вас её нет. Этот ваш лагранжиан есть определенная калибровка $x_0=t$ другого, более информативного, обладающего калибровочной инвариантностью. Правда он проще и достаточен для быстрого изложения СТО, но мы ж уже взрослые, да? Возьмите действие в виде корня из квадрата 4-вектора скорости. Все 4 переменные в нем равноправны. Оно более фундаментельно чем ваше из ЛЛ2. Если посчитать 4-импульс, то будет видно, что его квадрат равен константе. Это, так называемая первичная связь, которая при квантовании превращается в уравненние Клейна-Гордона. Считая гамильтониан полчим ноль, но поскольку есть связь, за гамильтонову функцию берется лагранжев множитель умножить на связь. Поэтому, в обсуждаемом нами случае надо добавлять $p^2$.
Я не знаю книг с этим материалом, посмотрите первые 5 страниц здесь http://stringworld.ru/library/books-for ... heory.html или в любом другом тексте из этого ресурса. Ну а если доберетесь до действия струны и её связей, то увидите, что они дают все известные уравнения полей.

[Dolopihtis]

ИгорЪ в сообщении #537053 писал(а):

Ilia_
Вообще то я задавал вопрос про связи для свободной частицы.

Для частицы находящейся в потенциальном поле обобщение Вашего лагранжиана имеет вид (см. например Гантмахер "Лекции по аналитической механике" пар. 21):

$S = \int\sqrt {(E-U(x,y))(dx^2 + dy^2)} $, где $E$ -полная энергия частицы , $U$- потенциал. Например для поля силы тяжести получается

$S = \int\sqrt {(E-U(x,y))(dx^2 + dy^2)} = \int\sqrt {(E-gy)(dx^2 + dy^2)} = \int{\sqrt {(E-gy)(dy^2/dx^2 + 1)}}dx$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{-g\sqrt{y'^2 + 1}}{2\sqrt{E-gy}}$

$\frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{y'\sqrt{E-gy}}{\sqrt{y'^2 + 1}} $

$\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{y'}{2}\sqrt{\frac{y'^2+1}{E-gy}}\frac{-gy'(y'^2+1)-2y'y''(E-gy)}{(y'^2+1)^2}+y''\sqrt{\frac{E-gy}{y'^2+1}} $

Приравнивая это всё и упрощая приходим к уравнению

$2y''(E-gy)+gy'^2+g = 0$,
которому,как можно проверить, удовлетвряет функция

$y = \frac{-gx^2}{4E}$, что соответсвует телу единичной массы,брошенному горизонтально из начала координат.

Данный лагранжиан соответствует принципу наименьшего действия в форме Мопертюи и позволяет находить только траекторию частицы,но не закон движения, при условии $E = \operatorname{const} $

Поэтому пытаться найти по нему обобщённые импульсы ,наверное, не совсем правильно.

[ИгорЪ]

Dolopihtis
Да, спасибо, эти формулы я совсем забыл, если вообще знал. Но вот пересмотрел и возникло сомнение, а возможен ли всё таки адитивный вариант $L=T-U$, который возник здесь в обсуждении. С учетом связи, и соответственно члена $p^2$, который надо добавить к гамильтониану, получим $H=T+U$ - и вроде возможно.

[Dolopihtis]

Не совсем понятно,что Вы хотите получить. Вас смущало,что длина вектора импульса равна константе. Но по моему мнению из Вашего лагранжиана нельзя получить правильное выражение для импульса. Если же Вас интересует классический аналог релятивистского выражения $E^2 - p^2 = m^2$, то это всем известное $E = \frac{p^2}{2m}$

[ИгорЪ]

В трехмерии
$L=\sqrt{2mE\dot{x}_i^{2}}$
$p_i=\sqrt{2mE}\frac{\dot{x}_i}{\sqrt{\dot{x}_i^{2}}}$
где $x_i(t)$-траектория частицы в евклидовом трехмерии. Видно, что есть связь$p^2=2mE$, замораживающая одну степень свободы. Смысл этого явления и предлагался для обсуждения. Возник вопрос о "правильности" лагранжиана.

Dolopihtis в сообщении #537662 писал(а):

Но по моему мнению из Вашего лагранжиана нельзя получить правильное выражение для импульса.

Что значит правильное?
В четырехмерии СТО всё абсолютно аналогично, вплоть до выражения для импульса.
$L=-mc\sqrt{\dot{x}_i^{2}}$ с псевдоевклидовым скалярным произведением
$p_i=-mc\frac{\dot{x}_i}{\sqrt{\dot{x}_i^{2}}}$ и связь $p^2=m^2c^2$, которая тоже уменьшает количество степеней свободы до трех и после подходящего переопределения $p_0$ на$E$ дает известное $E^2= p^2c^2+m^2c^4$. Вычисление гамильтониана по правилам для систем со связями дает правильное выражение в обоих случаях.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #537742 писал(а):

В четырехмерии СТО всё абсолютно аналогично, вплоть до выражения для импульса.

Вот только правильные выражения для импульса в четырёхмерии СТО и в трёхмерии классической (галилеевой) механики совершенно разные.

[Dolopihtis]

ИгорЪ в сообщении #537742 писал(а):

В трехмерии
$L=\sqrt{2mE\dot{x}_i^{2}}$
$p_i=\sqrt{2mE}\frac{\dot{x}_i}{\sqrt{\dot{x}_i^{2}}}$
где $x_i(t)$-траектория частицы в евклидовом трехмерии. Видно, что есть связь$p^2=2mE$, замораживающая одну степень свободы. Смысл этого явления и предлагался для обсуждения. Возник вопрос о "правильности" лагранжиана.

Так на этот вопрос уже ответили. Он "неправильный " в том смысле,что даёт только траекторию частицы (в данном случае прямую), но не даёт закона движения. Если Вы выпишите соответствующие уравнения Эйлера,то увидите, что выбором констант интегрирования можно определить только наклон прямой, а движение всегда происходит со скоростью $v = \sqrt{2E/m}$, где $E$ в данном случае - некоторый произвольный параметр в Вашем лагранжиане.
Отличие от четырёмерного случая состоит в том, что там задание траектории(например прямой ) уже полностью определяет закон движения.

Кроме того,мне кажется ,Вы не совсем правильно употребляете терминологию "связь" и "степень свободы"

[ИгорЪ]

Dolopihtis в сообщении #537770 писал(а):

Кроме того,мне кажется ,Вы не совсем правильно употребляете терминологию "связь" и "степень свободы"

Связь уменьшает число степеней свободы. Что не так?

Dolopihtis в сообщении #537770 писал(а):

Он "неправильный " в том смысле,что даёт только траекторию частицы (в данном случае прямую), но не даёт закона движения. Если Вы выпишите соответствующие уравнения Эйлера,то увидите, что выбором констант интегрирования можно определить только наклон прямой, а движение всегда происходит со скоростью , где в данном случае - некоторый произвольный параметр в Вашем лагранжиане.

Это вот непонятно. Что тут неправильно?
Разве нельзя отождествлять параметр траектории $t$ cо временем? Тогда вместо траектории получишь УД.
Ну и что с того, что квадрат 3-импульса фиксирован связью. Будешь сидеть на изоэнергетической поверхности, так же как в СТО сидят на массовой из=за фиксации квадрата 4-импульса.

Dolopihtis в сообщении #537770 писал(а):

Отличие от четырёмерного случая состоит в том, что там задание траектории(например прямой ) уже полностью определяет закон движения.

Это можно разъяснить?

[Dolopihtis]

ИгорЪ в сообщении #537809 писал(а):

Dolopihtis в сообщении #537770 писал(а):

Кроме того,мне кажется ,Вы не совсем правильно употребляете терминологию "связь" и "степень свободы"

Связь уменьшает число степеней свободы. Что не так?

Ну, в стандартной терминологии на свободно движущуюся в пространстве частицу не наложены никакие связи. Связь - это например грузик на верёвке или шарик в жёлобе. (См. например опять Гантмахер пар.1).

ИгорЪ в сообщении #537809 писал(а):

Dolopihtis в сообщении #537770 писал(а):

Он "неправильный " в том смысле,что даёт только траекторию частицы (в данном случае прямую), но не даёт закона движения. Если Вы выпишите соответствующие уравнения Эйлера,то увидите, что выбором констант интегрирования можно определить только наклон прямой, а движение всегда происходит со скоростью , где в данном случае - некоторый произвольный параметр в Вашем лагранжиане.

Это вот непонятно. Что тут неправильно?
Разве нельзя отождествлять параметр траектории $t$ cо временем? Тогда вместо траектории получишь УД.
Ну и что с того, что квадрат 3-импульса фиксирован связью. Будешь сидеть на изоэнергетической поверхности, так же как в СТО сидят на массовой из=за фиксации квадрата 4-импульса.

Да в общем всё тут правильно, если это так понимать.

ИгорЪ в сообщении #537809 писал(а):

Dolopihtis в сообщении #537770 писал(а):

Отличие от четырёмерного случая состоит в том, что там задание траектории(например прямой ) уже полностью определяет закон движения.

Это можно разъяснить?

Мне кажется, это очевидно.

[ИгорЪ]

Dolopihtis в сообщении #537832 писал(а):

Ну, в стандартной терминологии на свободно движущуюся в пространстве частицу не наложены никакие связи. Связь - это например грузик на верёвке или шарик в жёлобе. (См. например опять Гантмахер пар.1).

Иногда связи лезут из лагранжиана, см. выше, ну и Дирака, конечно. Гантмахер тут не авторитет.

Dolopihtis в сообщении #537832 писал(а):

Мне кажется, это очевидно.

Траектория и УД одно и тоже при отождествлении $x_0=t$

Munin в сообщении #537757 писал(а):

Вот только правильные выражения для импульса в четырёхмерии СТО и в трёхмерии классической (галилеевой) механики совершенно разные.

Если выбрать натуральный параметр, будет вам желанный $p=Cv$, подробности есть в цитированном выше Дубровин Новиков Фоменко.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #537809 писал(а):

Связь уменьшает число степеней свободы.

Только голономная...