Функция распределения и несмещенность

[never-sleep]

1) Каждая из случайных величин $X_1$ и $X_2$ равномерно распределена на интервале $[0; 1]$, при этом $X_1 + X_2 = 1$. Найдите функцию распределения величины $Y = \max \{X_1; X_2\}$.

Знаю - что такое равномерное распределение, знаю - что такое функция распределения 2 случайных величин, но не знаю что тут делать.

С чего начать?

2) Пусть $x_1, x_2, …, x_n$ – выборка случайной величины $X$

Является ли $Z=\dfrac{1}{2}\cdot x_1 + \dfrac{1}{2n-2}\cdot \sum\limits_{k=2}^nx_k$ несмещенной оценкой $EX$?

Знаю что, нужно проверить $EZ=EX$ или нет.

Но как это сделать?

$EX=\dfrac{1}{n}\cdot \sum\limits_{k=1}^nx_k$

$EZ=E\Big(\dfrac{1}{2}\cdot x_1 + \dfrac{1}{2n-2}\cdot \sum\limits_{k=2}^nx_k\Big)=\dfrac{1}{2}Ex_1+\dfrac{1}{2n-2}\cdot \sum\limits_{k=2}^n(Ex_k)$

[Евгений Машеров]

1. Посмотрите, какие значения может принимать этот максимум. А потом - как различаются вероятности различных значений в этом интервале.
2. Матожидание суммы равно сумме матожиданий.

[PAV]

$Y=\max\{X_1;1-X_1\}$

И находите функцию распределения $Y$ прямо по определению.

-- Сб фев 11, 2012 21:29:13 --

never-sleep в сообщении #537553 писал(а):

Пусть $x_1, x_2, …, x_n$ – выборка случайной величины $X$

Отсюда следует, в частности, что $Ex_k=EX$ для любого $k$.

[never-sleep]

Евгений Машеров в сообщении #537559 писал(а):

1.
2. Матожидание суммы равно сумме матожиданий.

Спасибо

2. Ок, учту

-- 11.02.2012, 20:54 --

PAV в сообщении #537560 писал(а):

$Y=\max\{X_1;1-X_1\}$

И находите функцию распределения $Y$ прямо по определению.

.

Спасибо

Для равномерного распределения - такая функция распределения.

$$F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ {x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \ge b \end{matrix} \right$$

1. $F_Y(y)=P(x_1<X,1-x_1<X)=?$

Так?

-- 11.02.2012, 21:00 --

PAV в сообщении #537560 писал(а):

Отсюда следует, в частности, что $Ex_k=EX$ для любого $k$.

$$EZ=E\Big(\dfrac{1}{2}\cdot x_1 + \dfrac{1}{2n-2}\cdot \sum\limits_{k=2}^nx_k\Big)=\dfrac{1}{2}EX+\dfrac{1}{2n-2}\cdot \sum\limits_{k=2}^n(EX)=\dfrac{1}{2}EX+\dfrac{1}{2(n-1)}\cdot (n-1)\cdot EX=$$

$$=0,5EX+0,5EX=EX$$

-- 11.02.2012, 21:03 --

Евгений Машеров в сообщении #537559 писал(а):

1. Посмотрите, какие значения может принимать этот максимум. А потом - как различаются вероятности различных значений в этом интервале.

Максимум -- это $1$. Вроде как значения равновероятны...

[PAV]

never-sleep в сообщении #537569 писал(а):

1. $F_Y(y)=P(x_1<X,1-x_1<X)=?$

В левой части есть $y$ - куда он пропал?

[never-sleep]

PAV в сообщении #537585 писал(а):

never-sleep в сообщении #537569 писал(а):

1. $F_Y(y)=P(x_1<X,1-x_1<X)=?$

В левой части есть $y$ - куда он пропал?

Вот так можно записать

$F_Y(y)=P(Y<y)$

Есть предположения, что можно рассмотреть 2 случая (которые равновероятны).

$Y=\max\{X_1;1-X_1\}$

1) $X_1\geqslant 0,5$

$Y=\max\{X_1;1-X_1\}=X_1$

$F_Y(y)=P(Y<y)=P(X_1<y)$

2) $X_1<0,5$

$Y=\max\{X_1;1-X_1\}=1-X_1$

$F_Y(y)=P(Y<y)=P(1-X_1<y)$ (можно ли так записать $P(1-X_1<y)$? Похоже, что такая запись - некорректна)
А что дальше делать - не знаю...

[PAV]

never-sleep в сообщении #537591 писал(а):

Вот так можно записать

$F_Y(y)=P(Y<y)$

Есть предположения, что можно рассмотреть 2 случая (которые равновероятны).

Не нужно. Просто продолжайте равенство

$P(\max\{X;1-X\}<y)=\cdots$

Запишите это в виде одного условия на $X$. Можете для простоты учесть уже здесь диапазон значений, которые принимает данная с.в.

[never-sleep]

PAV в сообщении #537596 писал(а):

Просто продолжайте равенство

$P(\max\{X;1-X\}<y)=\cdots$

Запишите это в виде одного условия на $X$. Можете для простоты учесть уже здесь диапазон значений, которые принимает данная с.в.

Вот так должно быть. $0\leqslant X\leqslant 1$

$P(\max\{X;1-X\}<y)=P(X<y)P(1-X<y)$

А как я могу записать в виде одного условия, когда я не знаю -- больше $X>0,5$ или нет...

Знаю лишь, что $Y\in[0.5,1]$

[PAV]

never-sleep в сообщении #537600 писал(а):

$P(\max\{X;1-X\}<y)=P(X<y)P(1-X<y)$

Это неправильно. События не являются независимыми, поэтому перемножать их вероятности нельзя.

Подсказываю

$P(\max\{X;1-X\}<y)=P(X<y;1-X<y)=P(1-y<X<y)$

Распределение $X$ известно. Вероятность попадания в интервал легко найти.

Вы правильно рассудили, что этот вывод нужно проводить только для $y\in[0.5,1]$. Для меньших значений вероятность ноль, для больших - единица (но это тоже необходимо написать в решении, иначе оно будет неполным).

[never-sleep]

PAV в сообщении #537635 писал(а):

never-sleep в сообщении #537600 писал(а):

$P(\max\{X;1-X\}<y)=P(X<y)P(1-X<y)$

Это неправильно. События не являются независимыми, поэтому перемножать их вероятности нельзя.

Подсказываю

$P(\max\{X;1-X\}<y)=P(X<y;1-X<y)=P(1-y<X<y)$

Распределение $X$ известно. Вероятность попадания в интервал легко найти.

Вы правильно рассудили, что этот вывод нужно проводить только для $y\in[0.5,1]$. Для меньших значений вероятность ноль, для больших - единица (но это тоже необходимо написать в решении, иначе оно будет неполным).

Спасибо. Сделал так. Проверьте, пожалуйста! (мне самому кажется, что запись - неправильна (а ответ - похож на правду)

$$F_Y(y)=P(1-y<X<y)=F(y)-F(1-y)=\left\{\begin{matrix} 0 & y<0,5 \\ 2y-1& y\in[0.5,1]\\ 1& y>1 \\ \end{matrix}\right.$$

Есть ли задачники/книжки с подобными задачами? Хотел бы научиться решать подобные этим двум (хорошо, если там будут разобраны примеры).

[PAV]

Ответ правильный. Запись не совсем хороша. Вы пытаетесь рассматривать выражения до фигурной скобки сразу для всех значений $y$. Однако для случая $y<0.5$ если Вы формально подставите это значение в разность $F(y)-F(1-y)$ то получите не ноль, а отрицательное значение. Так что этот случай нужно оговорить отдельно. Просто сказать, что при нем интервал, в который должна попасть с.в. $X$, пустой, и потому вероятность равна нулю.

Есть разные задачники по теории вероятностей, однако данная конкретная задача не требует для решения каких-то хитрых приемов, а проверяет только фактически знание базовых вероятностных определений и умение ими пользоваться.