Разностное уравнение

[xmaister]

Здравствуйте! Нужно найти общее решение $x_{n+1}=x_n^2+\frac{2}{9}, x_0=a$. Замены $b_n=3x_n$ и $b_n=\omega_n-\frac{1}{\omega_n}$ не помогают, получается $3\left(\omega_{n+1}-\frac1{\omega_{n+1}}\right)=\omega_n^2+\frac{1}{\omega_n^2}$. Подскажите, как такое решить?

Благодарю

[Sonic86]

Попробуйте поэкспериментировать со штуками типа $v_n=(c+\sqrt{d})^n+(c-\sqrt{d})^n$: посмотрите чему равно $v_n^2$, а потом сделайте замену $w_n=v_{2^n}$.
Только не обещаю, что получится.
UPD: А нет, оказывается это эквивалентно 2-й приведенной выше замене.

[svv]

Не слишком красивое слагаемое $\frac 2 9$ заменяю на $1$.
Беру в качестве $a$ нуль.
Получилась родственная последовательность $x_0=0, x_n=x_{n-1}^2+1$. Здесь все элементы будут целыми. Уж её-то математики должны изучить вдоль и поперек.
Нахожу несколько первых элементов: $0, 1, 2, 5, 26, 677$.
Ищу последовательность в OEIS. Быстро нахожу: A003095
Там для каждой последовательности приводятся самые важные свойства, ссылки и т.д. Надеюсь, что будет и явная формула. Просматриваю.
И не вижу ни-че-го.
xmaister, Вы поняли, что я хочу сказать?

[xmaister]

Да, я понял.

[Shadow]

При $|a|<\frac 2 3, x_n \to \frac 1 3$
При $|a|=\frac 2 3, x_n=\frac 2 3$
Иначе улетает в космос. Но это вряд ли поможет

[xmaister]

А какой у неё будет первый член асимптотического разложения в случае расходимости?