Занумерованные вершины октаэдра

[Ktina]

В вершинах октаэдра поставлены различные натуральные числа. Выписали суммы чисел на каждой из граней. Какое наименьшее количество различных чисел может быть среди них?
(московская командная олимпиада)

[hippie]

Ответ: 4.

Пример расстановки чисел:
В парах противоположных вершин тетраэдра ставим числа (1; 2); (3; 4); (5; 6).
При этом получаются суммы от 1+3+5=9 до 2+4+6=12.

Меньше четырёх сумм получиться не может.
Выберем сначала в каждой паре противоположных вершин меньшее число. После этого последовательно перейдём к большему числу сначала в первой паре, потом во второй и наконец в третьей. На каждом шаге мы получаем сумму чисел (стоящих в вершинах одной грани) большую, чем предыдущая. Таким образом, 4 полученные суммы различны.

[hippie]

Предлагаю ответную задачку.

В вершинах На гранях октаэдра написаны попарно различные натуральные числа. В вершинах написали суммы чисел, написанных на каждой из прилегающих граней.
Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано в вершинах?

[Ktina]

hippie в сообщении #537484 писал(а):

Предлагаю ответную задачку.

В вершинах На гранях октаэдра написаны попарно различные натуральные числа. В вершинах написали суммы чисел, написанных на каждой из прилегающих граней.
Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано в вершинах?

Если не ошиблась, одно число.

Пусть четыре верхние грани по часовой стрелке будут: 5, 6, 7, 8,

а нижние - 11, 4, 9, 2.

Тогда сумма в каждой вершине будет 26.

Не напутала?

[hippie]

Ktina в сообщении #537546 писал(а):

hippie в сообщении #537484 писал(а):

Предлагаю ответную задачку.

В вершинах На гранях октаэдра написаны попарно различные натуральные числа. В вершинах написали суммы чисел, написанных на каждой из прилегающих граней.
Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано в вершинах?

Если не ошиблась, одно число.

Пусть четыре верхние грани по часовой стрелке будут: 5, 6, 7, 8,

а нижние - 11, 4, 9, 2.

Тогда сумма в каждой вершине будет 26.

Не напутала?

Не напутали ! Всё точно!

У меня был другой пример, с числами от 1 до 8:
1 7 6 4
8 2 3 5.
Сумма чисел в каждой вершине равна 18.

[Ktina]

hippie в сообщении #537595 писал(а):

Не напутали ! Всё точно!

У меня был другой пример, с числами от 1 до 8:
1 7 6 4
8 2 3 5.
Сумма чисел в каждой вершине равна 18.

Вы правы. Согласно принципу "бритвы Оккама", Ваш пример лучше, так как избавлен от привлечения лишних сущностей.

(Оффтоп)

Ой, после тех "товарищей", с которыми я только что пообщалась (точнее, которыми была обгажена с ног до головы) на другом форуме, общаться с Вами - как бальзам на раны

[hippie]

Я бы не сказал, что мой пример лучше. Ведь в задаче не требовалось расставлять как можно меньшие числа.
К тому же, хотя мы использовали разные числа, структура примеров — одинаковая.

————————————————————————

Кроме двух рассмотренных задач, можно рассмотреть ещё 4, в которых используются не только грани и вершины, но и рёбра:
(ВР) Сначала в вершинах расставляются попарно различные числа, а потом на рёбрах пишутся их суммы;
(ГР) Сначала на гранях расставляются попарно различные числа, а потом на рёбрах пишутся их суммы;
(РВ) Сначала на рёбрах расставляются попарно различные числа, а потом в вершинах пишутся их суммы;
(РГ) Сначала на рёбрах расставляются попарно различные числа, а потом на гранях пишутся их суммы.

(Исходная задача в этих обозначениях — (ВГ), а вторая — (ГВ).)

Задачи (РВ) и (РГ) я пока совсем не рассматривал. Задача (ВР) решается легко.

С (ГР) ситуация сложнее. Очевидно, что получится не менее 4 различных сумм. Существует расстановка, при которой получается 5 сумм (подходит и Ваша и моя расстановка для решения задачи (ГВ)). Но ни доказать, что различных сумм всегда не меньше пяти, ни найти пример с четырьмя различными суммами мне пока не удалось. (Получилось только, что если расстановка с четырьмя суммами существует, то каждая из сумм встречается ровно трижды.)
Думаю, что ответ на эту задачу — 5, но доказать это без перебора нельзя.

[hippie]

В (ГР) вроде бы получилось доказательство, что сумм не меньше 5. Но доказательство — длинный сложный перебор. И я не уверен, что не пропустил какой-нибудь случай.

Задачу (РГ) решил.

Остаётся (РВ).

[hippie]

(РВ) тоже решил .