Геометрический смысл билинейной формы и др.

[misha662]

Не могу понять некоторых вещей из линейной алебры, уже кучу книг перерыл:
Подскажите пожалуйста геометрический (либо другой наглядный) смысл следующих вещей:

билинейная форма, квадратичная форма (какая между ними разница не в алгебраическом смысле?)
сопряженное пространство,
сопряженный оператор,
самосопряженный оператор
тензор

насколько я понимаю эти понятия связаны со свойствами n мерного пространства и ортогональностью в нём

С квадратичными формами подозреваю - задаётся некий геометрический объект в n мерном пространстве при помощи умножения на симметрическую матрицу, ну в общем сам разобраться смогу.
Если что, почти понял жорданову форму матрицы, и всё остальное кроме выше приведённых тем... с ними сложнее...

заранее благодарю

[Полосин]

Смысл квадратичной формы раскрывается, например, при попытке привести уравнение линии второго порядка на плоскости к простейшему (т.н. каноническому) виду. Попробуйте проделать это самостоятельно - многое поймете.
Полезность понятия сопряженного оператора раскрывается, например, при попытке решить матричное уравнение $Ax=f$ (еще лучше - $(A-\lambda I)x=f$). Проанализируйте связь между указанным уравнением и т.н. сопряженным уравнением $A^*y=0$ на каком-нибудь несложном примере (возьмите матрицу 2x2) - вы поймете, что такое теоремы Фредгольма.

[Munin]

Проще всего, наверное, с линейной и квадратичной формой. Возьмите плоскость (двумерное пространство), и постройте на ней функцию $ax+by$ или $ax^2+2bxy+cy^2.$ В смысле трёхмерного графика, это будет плоскость, проходящая через нуль, либо соответственно параболоид (эллиптический, гиперболический или вырожденный) касающийся в нуле горизонтальной плоскости. Если у вас нет "в запасе" (для воображения) третьей координаты, представляйте себе линии уровня соответствующих функций. Ещё для квадратичных форм бывает удобно представлять себе только одну линию уровня - уровня 1 - это будет эллипсоид, либо гиперболоид, мнимый эллипсоид - зависит от сигнатуры формы. Он даже как-то называется. Для линейных форм можно ограничиться двумя плоскостями, для уровней 0 и 1. Помните, чем больше форма, тем ближе плоскости.

Вектор сопряжённого пространства (ковектор) - это линейная форма. Так что сопряжённое пространство - это пространство таких форм.

Самосопряжённый оператор - это такой, который выполняет по набору перпендикулярных направлений чистые растяжения-сжатия. Ортогональный оператор - это такой, который поворачивает всё пространство как целое, но не меняет его формы, никак не искажает её. Произвольный оператор можно представить себе как произведение самосопряжённого и ортогонального (в комплексном случае эрмитова и унитарного). Такое разложение, и смысл самих операторов, в чём-то похожи на комплексные множители: если мы умножаем на число $e^z=e^{x+iy},$ то это можно представить себе как растяжение-сжатие - умножение на $e^x,$ и поворот - умножение на $e^{iy}$ (только операторы, в отличие от комплексных чисел, не перестановочны, надо помнить об этом).

Так что, сопряжённый оператор от самосопряжённого - это он и есть. Сопряжённый от ортогонального - поворот в обратную сторону на тот же угол. Сопряжённый от произвольного - надо взять самосопряжённую и ортогональную "составляющие" этого оператора, и развернуть ортогональую в обратную сторону. (И не забыть поменять их порядок между собой.) Сравните: обратный оператор от ортогонального - это такой же поворот назад, но обратный от самосопряжённого - это растяжение-сжатие вдоль тех же осей на обратные коэффициенты.

Тензор - понятие сложное, я бы начал со вспомогательного. Возьмём упорядоченную $n$-ку векторов. Добавим к ней $m$-ку ковекторов. Полученный объект уже ведёт себя почти как тензор ранга $(m,n).$ Например, его можно $m$ раз умножить на вектор и $n$ раз на ковектор, и получить скаляр. Наконец, финальный штрих: любой тензор можно представить как сумму (конечную, в зависимости от размерности) таких $(m,n)$-объектов (образующих в пространстве тензоров базис). Например, тензор ранга $(2,0)$ (билинейная форма) в пространстве $d$ измерений - требует $d^2$ двоек линейных форм.

Для билининейной формы я не знаю хорошего геометрического образа. Это нечто типа обобщения закона скалярного произведения. В обычном евклидовом скалярном произведении все направления равнозначны, а углы вычисляются между истинными направлениями векторов. Билинейные формы позволяют считать направления имеющими "разный вес", и давать результат, как если бы один из сомножителей перед умножением был повёрнут куда-то в сторону. По сути, можно считать, что с одним сомножителем делают произвольное преобразование, и только потом берут скалярное произведение - только это не очень подходит для пространств без скалярного произведения.

Из билинейной формы можно сделать квадратичную форму, приравняв её операнды друг другу. Но сама по себе билинейная форма - более богатый объект.

[alcoholist]

misha662 в сообщении #537198 писал(а):

билинейная форма, квадратичная форма (какая между ними разница не в алгебраическом смысле?)
сопряженное пространство,
сопряженный оператор,
самосопряженный оператор
тензор

насколько я понимаю эти понятия связаны со свойствами n мерного пространства и ортогональностью в нём

с ортогональностью из перечисленных связано только понятие самосопряженного оператора

[Munin]

Да, тогда то, что я написал про сопряжённый оператор, относится только к пространствам со скалярным произведением (и ортогональностью соответственно). Даже, наверное, только с евклидовым скалярным произведением.

[nnosipov]

Munin в сообщении #537308 писал(а):

тогда то, что я написал про сопряжённый оператор, относится только к пространствам со скалярным произведением

Говорить про сопряжённый оператор можно в любом случае, просто этот оператор будет действовать не в исходном пространстве, а в сопряжённом (пространстве линейных функционалов над исходным). Другое дело, когда в исходном пространстве есть скалярное произведение (т.е. это пространство евклидово) --- оно позволит "переселить" сопряжённый оператор в исходное.

[alcoholist]

Munin в сообщении #537308 писал(а):

Даже, наверное, только с евклидовым скалярным произведением.

nnosipov в сообщении #537312 писал(а):

Другое дело, когда в исходном пространстве есть скалярное произведение (т.е. это пространство евклидово) --- оно позволит "переселить" сопряжённый оператор в исходное.

подойдет любое спаривание

Именно, назовем л.о. $A$ самосопряженным относительно билинейной формы $\Omega$, если
для любой пары векторов

$$ \Omega(Au,v)=\Omega(u,Av) $$

когда форма вырождена или несимметрична это понятие малосодержательно

[Nimza]

А есть какая-нибудь наглядная интерпретация внешних степеней векторного пространства?

[Munin]

Мне вообще часто помогает приём представлять рассматриваемое пространство малоразмерным: двумерным (как было изложено выше), одномерным. Думаю, внешние степени одномерного пространства представить сравнительно легко. А дальше можно вносить поправки, помня об эффектах, которые мы отбросили, взяв малую размерность. Какую же я чушь написал...

Очень трудно с тензором Римана. Он даже в трёхмерном пространстве ущербен.

[alcoholist]

Nimza

Nimza в сообщении #537423 писал(а):

А есть какая-нибудь наглядная интерпретация внешних степеней векторного пространства?

есть! Это площадки-объемки))))

-- Сб фев 11, 2012 23:31:29 --

Munin в сообщении #537441 писал(а):

Очень трудно с тензором Римана. Он даже в трёхмерном пространстве ущербен.

_________________

он понятен, ведь билинейная форма)

[Munin]

alcoholist в сообщении #537634 писал(а):

он понятен, ведь билинейная форма)

Надо попробовать...

[Nimza]

alcoholist в сообщении #537634 писал(а):

есть! Это площадки-объемки))))

М?) Как проинтерпретировать, например, элементы $\Lambda^{2} \mathbb{R}^3$? Например, $x \wedge y$?

[svv]

Раньше это называлось "бивектор".
см. Википедия, статья Поливектор

[Nimza]

Ааааа! Как я сразу-то не додумался. Это ж контравариантные кососимметричные тензоры. Спасибо!

[svv]

"Площади-объёмки", как их назвал alcoholist, тут тоже рядом. Например, построим на векторах $a$ и $b$ параллелограмм, и пусть $p=a\wedge b$. Тогда $p^{ik}$ -- это площади (со знаком) проекций (параллельных осям) параллелограмма на координатные плоскости $ik$, если площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах $e_i$ и $e_k$, принять за единицу. А квадрат самой площади параллелограмма равен $\frac 1 2 p_{ik} p^{ik}$.