Функциональное уравнение

[CrabReiter]

Функция $f$ такая, что у неё область определения и множество значений - любое действительное число. При этом при всех действительных $x$ она удовлетворяет условию:

$$f(f(x))=x^2f(x)-x+1.$$

Найти $f(1)$.

Вроде бы как должен выходить ответ 1, но прийти к нему у меня не очень удается... буду благодарен за помощь.
Примечание: прошу решать задачу на уровне школьной математики, пусть и олимпиадной.=)

[hippie]

Подставляя $x=0$ получаем: $f(f(0)) = 0^{2}f(0)-0+1 = 1.$

Подставляя $x=1$ получим $f(f(1)) = 1^{2}f(1)-1+1 = f(1).$

Подставляя $x=f(0)$ (и учитывая, что $f(f(0)) = 1$) получим: $f(1) = f(0)^{2}\cdot 1-f(0)+1 \ge \frac 34.$

Подставляя $x=f(1)$ (и учитывая, что $f(f(1)) = f(1)$) получим: $f(1) = f(1)^{2}\cdot f(1)-f(1)+1.$

Таким образом:
$f(1)^{3}-2f(1)+1 = 0$ и $f(1)\ge \frac 34.$

$f(1)^{3}-2f(1)+1 = (f(1)-1)(f(1)^2+f(1)-1),$ и оба корня уравнения $t^2+t-1 = 0$ меньше $\frac 34.$
Следовательно, $f(1)=1.$

CrabReiter в сообщении #531862 писал(а):

Область определения и множество значений - любое действительное число.

Наверно, всё-таки, область определения — все действительные числа.
А так, как у Вас, получается, что область определения состоит из одной точки .

[CrabReiter]

hippie в сообщении #531876 писал(а):

Подставляя $x=f(0)$ (и учитывая, что $f(f(0)) = 1$) получим: $f(1) = f(0)^{2}\cdot 1-f(0)+1 \ge \frac 34.$

Ну, конечно! Оценка выражения! Во-от оно! Как до этого я не додумался?! Спасибо вам большое! А то у меня-то и получилось 3 значения, и интуитивно понятно, что должно остаться лишь одно, а как два других отсеять... Спасибо!
А насчет моей той фразы в задаче - вы правы. Я неправильно выразился.

[karzhas]

CrabReiter в сообщении #531902 писал(а):

hippie в сообщении #531876 писал(а):

Подставляя $x=f(0)$ (и учитывая, что $f(f(0)) = 1$) получим: $f(1) = f(0)^{2}\cdot 1-f(0)+1 \ge \frac 34.$

А то у меня-то и получилось 3 значения, и интуитивно понятно, что должно остаться лишь одно, а как два других отсеять...

Я не ходил на разбор первого тура, но на апелляции оказалось что у меня 3 балла, и в этой задачи 3 ответа....

[CrabReiter]

karzhas в сообщении #532731 писал(а):

Я не ходил на разбор первого тура, но на апелляции оказалось что у меня 3 балла, и в этой задачи 3 ответа....

Ну, для начала, Ответ всегда один. А значений 3 штуки Функция в одной точке принимать просто-напросто не может (Ну, по крайней мере, на уровне школьной математики) ). 3 балла дают за то, что ты нашел 3 значения для $f(1)$, а вот еще последние 4 балла докидывают за то что ты отсеял два других, так что все в норме) И это справедливо, ведь основным моментом задачи и является вот эта оценка.

[Simba]

Да, я тоже участник, ответ один, как и было доказано выше. Думаю 7 балов - полное решение, 5 - балов $f(1)=1$, но без примера, и 3 бала - нашли 3 возможных варианта $f(1)=1$. Я пример не привел, и соотвественно получил 5 баллов.

[kopern1k]

А как ищут пример функции, удовлетворяющей данному соотношению?

-- 10.02.2012, 21:18 --

Пример функции $f(x)=1$. Я попробовал через производную искать. А есть какой-то общий метод или как повезёт?=)

[Legioner93]

kopern1k в сообщении #537151 писал(а):

А как ищут пример функции, удовлетворяющей данному соотношению?

Бессмысленный вопрос. Что вы понимаете под примером?

[kopern1k]

Цитата:

Бессмысленный вопрос. Что вы понимаете под примером?

Такую $f(x)$, которая удовлетворяет данному соотношению

[Legioner93]

kopern1k
Это тавтология. Разве это не очевидно?

[MrDindows]

Legioner93 в сообщении #537218 писал(а):

kopern1k
Это тавтология. Разве это не очевидно?

kopern1k спрашивает, как найти частное решение этого функционального уравнения, и о том, как оно ( частное решение) ищется в общем. Не знаю, где вы тут увидели тавтологию...

[Legioner93]

MrDindows в сообщении #537237 писал(а):

и о том, как оно ( частное решение) ищется в общем.

Хорошо. Я постараюсь объяснить. Что по-вашему значит найти функцию? Просто вот взять и найти. Какой смысл вы вкладываете в эту задачу?
Я утверждаю, что общая задача

kopern1k в сообщении #537168 писал(а):

Найти такую $f(x)$, которая удовлетворяет данному соотношению

лишена какого-то глубокого смысла.
И ответом на неё является $f(x)$. Именно эти 4 символа. Докажите мне, что я не прав.

Скорее всего вы путаете эту задачу с другой: "выразить $f(x)$ через суперпозицию некоторых (например элементарных) функций". Это куда более узкая и интересная задача. К сожалению, успешно она решается очень редко.

[MrDindows]

Legioner93 в сообщении #537278 писал(а):

MrDindows в сообщении #537237 писал(а):

и о том, как оно ( частное решение) ищется в общем.

Хорошо. Я постараюсь объяснить. Что по-вашему значит найти функцию? Просто вот взять и найти. Какой смысл вы вкладываете в эту задачу?
Я утверждаю, что общая задача

kopern1k в сообщении #537168 писал(а):

Найти такую $f(x)$, которая удовлетворяет данному соотношению

лишена какого-то глубокого смысла.
И ответом на неё является $f(x)$. Именно эти 4 символа. Докажите мне, что я не прав.

Скорее всего вы путаете эту задачу с другой: "выразить $f(x)$ через суперпозицию некоторых (например элементарных) функций". Это куда более узкая и интересная задача. К сожалению, успешно она решается очень редко.

Да это вы уже не понятно к чему придираетесь...
Олимпиадные задачи именно так и звучат: "Найти все такие $f(x)$, для которых...". И ни у кого никогда не возникает сомнений в условии задачи.
Та и везде употребляются формулировки задач, типа "Найдите...", и все понимают условие, и не отвечают: "Да вот же оно!"
А то, что вы сейчас пишите, очень напоминает вот это:

[kopern1k]

Цитата:

К сожалению, успешно она решается очень редко.

То есть правильно я понимаю, что чаще всего такую функцию ищут подбором?

[Legioner93]

MrDindows
Есть много способов задания функции.
1) Суперпозиция конечного числа элементарных (или другого набора) функций
2) Указать коэффициенты ряда Тейлора
3) Указать коэффициенты ряда Фурье
4) Дифференциальное уравнение
5) Функциональное уравнение
6) Словесное описание
Если просят найти функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению, причем способ задания ответа не указан, то ответ я могу дать в любой из 6 форм. В том числе и в виде функционального уравнения. Именно это я и имел ввиду.
А вот если явно попросили "выразите $f(x)$ через элементарные функции", то уже нужно думать.