Как найти момент инерции барабана?

[Gees]

photon в сообщении #536709 писал(а):

В данном случае, можно не обращать внимания на векторность.

А если всё-таки взять производную от вектора, то получится множество переменных??? ???
А почему направление можно не учитывать??? ???
Потому что барабан будет вращаться в одну сторону и все векторы тоже будут вращаться в одну сторону и они все направлены в одну сторону??? ???

-- 09.02.2012, 17:55 --

EvilPhysicist в сообщении #536712 писал(а):

$ \cfrac{d}{dx} \vec v =\cfrac{d}{dx} \left( \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec e_k \right) = \sum\limits_{k=1}^n \cfrac{dv_k}{dx} \vec e_k $

Диаметр - это два радиуса, а радиус можно найти по формуле: ${R}=\dfrac{d}{2}$, где ${d}={0,8}$, то есть ${R}=\dfrac{0,8}{2}={0,4}$;
Линейная скорость при вращении барабана вокруг неподвижной оси найдём по формуле:
${v}={\omega}\cdot{R}={16}\cdot{0,4}={6,4}$ метра в секунду.
Вопрос в том как теперь от ${\vec v}={6,4}$ найти производную??? ???

[nestoronij]

Надо написать уравнение динамики для груза:
ma = P - T
и для вращающегося барабана:
Jε = TR
Угловое и линейное ускорение связаны:
a = εR где ε = ω/t Решайте два уравнения относительно J, исключая Т и считайте. Данные все есть.

whiterussian:

На форуме принято записывать формулы, используя нотацию $\TeX$ (введение, справка).

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #536723 писал(а):

А если всё-таки взять производную от вектора, то получится множество переменных?

Получится вектор

Gees в сообщении #536723 писал(а):

А почему направление можно не учитывать?

Никто про направление не говорил.

Gees в сообщении #536723 писал(а):

Потому что барабан будет вращаться в одну сторону и все векторы тоже будут вращаться в одну сторону и они все направлены в одну сторону?

что?

Gees в сообщении #536723 писал(а):

Диаметр - это два радиуса, а радиус можно найти по формуле: ${R}=\dfrac{d}{2}$, где ${d}={0,8}$, то есть ${R}=\dfrac{0,8}{2}={0,4}$;
Линейная скорость при вращении барабана вокруг неподвижной оси найдём по формуле:
${v}={\omega}\cdot{R}={16}\cdot{0,4}={6,4}$ метра в секунду.
Вопрос в том как теперь от ${\vec v}={6,4}$ найти производную??? ???

Взять и посчитать. Но то, что вы написали - не вектор.

[nestoronij]

В споре, по моему, потеряли суть задачи. Если движутся N тел, надо написать N уравнений динамики и решать их. Только так и не как иначе. В векторном виде писать уравнения динамики лучше глядя на рис. Здесь всё просто на вертикальную ось все проекции и величина проекций равна модулю вектора т.к. сил под углами нет. И не усложняйте задачу в ней 2 или 3 действия.

[Gees]

nestoronij в сообщении #536731 писал(а):

Надо написать уравнение динамики для груза:
ma = P - T
и для вращающегося барабана:
Jε = TR
Угловое и линейное ускорение связаны:
a = εR где ε = ω/t Решайте два уравнения относительно J, исключая Т и считайте. Данные все есть.

Я и получил такое уравнение в проекциях вида:
${m}\cdot{a}={F}-{T}$;
Момент силы есть момент инерции ${J}$, помноженный на угловое ускорение ${\varepsilon}$, или вращающий момент, не знаю какова разница между крутящим и вращающим характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело (на барабан).
По закону сохранения момента импульса суммарный импульс не изменяется, поэтому ${L_z_1}={L_z_2}$, в свою очередь ${L_z_1}={J}\cdot{\varepsilon}$, а ${L_z_2}={T}\cdot{R}$, отсюда выразим силу натяжения нити ${T}$, она будет равна:
${T}=\dfrac{{J}\cdot{\varepsilon}}{R}$;
Подставим в уравнение движение барабана вместо ${T}$ $\dfrac{{J}\cdot{\varepsilon}}{R}$, получим:
${m}\cdot{a}={F}-{T}\Rightarrow{m}\cdot{a}={m}\cdot{g}-\dfrac{{J}\cdot{\varepsilon}}{R}$, но ${a}={\varepsilon}\cdot{R}$, потому что при вращательном движении это ускорение считаем тангенциальным, в итоге получим:
${m}\cdot{\varepsilon}\cdot{R}={m}\cdot{g}-\dfrac{{J}\cdot{\varepsilon}}{R}\Rightarrow{J}=\dfrac{{m}\cdot{g}\cdot{R}-{m}\cdot{\varepsilon}\cdot{{R}^{2}}}{\varepsilon}$.
Рисунок прилагаю к решению

-- 10.02.2012, 04:05 --

EvilPhysicist в сообщении #536738 писал(а):

Получится вектор
Никто про направление не говорил.
что?
Взять и посчитать. Но то, что вы написали - не вектор.

Приведите пожалуйста пример как взять производную от вектора???
Вектора всех величин - аксиальные векторы, которые направлены в одну сторону, потому что барабан может вращаться только в одном направлении.
Формулу из математики с суммой ряда не понял вообще.

-- 10.02.2012, 04:06 --

nestoronij в сообщении #536782 писал(а):

В споре, по моему, потеряли суть задачи. Если движутся N тел, надо написать N уравнений динамики и решать их. Только так и не как иначе. В векторном виде писать уравнения динамики лучше глядя на рис. Здесь всё просто на вертикальную ось все проекции и величина проекций равна модулю вектора т.к. сил под углами нет. И не усложняйте задачу в ней 2 или 3 действия.

В сообщении post536362.html#p536362 rustot предлагает два варианта решения, первый через энергии, второй через силы. С энергиями у меня дело хуже, поэтому я решил вторым способом.

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #536906 писал(а):

Приведите пожалуйста пример как взять производную от вектора?

$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (\cos x , - \sin x) $

Gees в сообщении #536906 писал(а):

С энергиями у меня дело хуже, поэтому я решил вторым способом.

Причём решаете не правильно.

[EvilPhysicist]

EvilPhysicist в сообщении #536913 писал(а):

$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (\cos x , - \sin x) $

Имелось в виду $ \cfrac{d}{dt} (\sin t, \cos t) = (\cos t , - \sin t) $

[Gees]

EvilPhysicist в сообщении #536913 писал(а):

$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (\cos x , - \sin x) $

Значит при взятии производной от вектора, находят производные его координат по отдельности и получают новый вектор с координатами-производными?
А вектор по величине при этом меняется?

EvilPhysicist в сообщении #536913 писал(а):

Причём решаете не правильно.

А в чём я допустил ошибку?

-- 11.02.2012, 01:13 --

EvilPhysicist в сообщении #537018 писал(а):

$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (\cos x , - \sin x) $
Имелось в виду $ \cfrac{d}{dt} (\sin t, \cos t) = (\cos t , - \sin t) $

А откуда ${t}$ появилась в аргументах синуса и косинуса?
Почему она там появилась?

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #537271 писал(а):

Значит при взятии производной от вектора, находят производные его координат по отдельности и получают новый вектор с координатами-производными?

Да

Gees в сообщении #537271 писал(а):

А вектор по величине при этом меняется?

Сами подумайте.

Gees в сообщении #537271 писал(а):

А в чём я допустил ошибку?

В записи уравнений движения. Правильный вид $ I \cfrac{dL}{dt} =M $, где $L$ - момент импульса, $M$ -момент сил. Вам осталось только значения подставить.

[Munin]

Gees в сообщении #537271 писал(а):

Почему она там появилась?

Потому что без неё была опечатка:
$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (\cos x\cdot\cfrac{dx}{dt} , - \sin x\cdot\cfrac{dx}{dt}) $

[Gees]

EvilPhysicist в сообщении #537326 писал(а):

Да

Стало немного понятнее с вектором, а вот что происходит с координатой, если она не содержит параметра, ведь в этом случае производная равна нулю, а значит и сам вектор?

EvilPhysicist в сообщении #537326 писал(а):

Сами подумайте.

Я думаю меняется! А вот уменьшается она или увеличивается с порядком производной не совсем понятно?

EvilPhysicist в сообщении #537326 писал(а):

В записи уравнений движения. Правильный вид $ I \cfrac{dL}{dt} =M $, где $L$ - момент импульса, $M$ -момент сил. Вам осталось только значения подставить.

Не совсем понятно про момент силы и почему он равен импульсу?

-- 11.02.2012, 20:50 --

Munin в сообщении #537364 писал(а):

Потому что без неё была опечатка:
$ \cfrac{d}{dt} (\sin x, \cos x) = (\cos x\cdot\cfrac{dx}{dt} , - \sin x\cdot\cfrac{dx}{dt}) $

Почему время перешло в аргумент, ведь производная находится по времени?
Почему ${t}$ вместо ${x}$?

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #537542 писал(а):

а вот что происходит с координатой, если она не содержит параметра, ведь в этом случае производная равна нулю

координата становится равной нулю.

Gees в сообщении #537542 писал(а):

Я думаю меняется! А вот уменьшается она или увеличивается с порядком производной не совсем понятно?

В общем виде сказать нельзя.

Gees в сообщении #537542 писал(а):

Не совсем понятно про момент силы и почему он равен импульсу?

Момент силы не равен импульсу.

Gees в сообщении #537542 писал(а):

Почему время перешло в аргумент, ведь производная находится по времени?

Время никуда не перешло, просто $x$ стали считать функцией времени.

[Gees]

EvilPhysicist в сообщении #537552 писал(а):

координата становится равной нулю.

А у вектора может быть три координаты, если вектор находится в пространстве ${x},{y},{z}$ и все три нули или речь идёт о какой-то определённой координате?[/quote]

EvilPhysicist в сообщении #537552 писал(а):

В общем виде сказать нельзя.

А я думаю, что с увеличением порядка производной вектор уменьшается по величине. Не знаю, может и не так вовсе, не знаю...

EvilPhysicist в сообщении #537552 писал(а):

Момент силы не равен импульсу.

Вы же выше писали, что $ I \cfrac{dL}{dt} =M $ и какова основная причина, что они будут равны?

EvilPhysicist в сообщении #537552 писал(а):

Время никуда не перешло, просто $x$ стали считать функцией времени.

А почему аргумент стал функцией времени? Причём тут время?

[EvilPhysicist]

Gees в сообщении #537574 писал(а):

А у вектора может быть три координаты, если вектор находится в пространстве ${x},{y},{z}$ и все три нули или речь идёт о какой-то определённой координате?

да

Gees в сообщении #537574 писал(а):

А я думаю, что с увеличением порядка производной вектор уменьшается по величине. Не знаю, может и не так вовсе, не знаю...

Кто же вам запрещает узнать? Взять на бумажке и посчитать, что происходит.

Gees в сообщении #537574 писал(а):

Вы же выше писали, что $ I \cfrac{dL}{dt} =M $ и какова основная причина, что они будут равны?

Уравнения Ньютона - основная причина того, что они равны.
$ \vec L = \vec r \times \vec v $ значит $ \cfrac{d \vec L}{dt} =\vec v \times \vec v + \vec r \times \vec a= \vec r \times \vec a = \cfrac{1}{m} \vec r \times \vec F = \cfrac{1}{m} \vec M $.

Gees в сообщении #537574 писал(а):

А почему аргумент стал функцией времени?

Ну ему ничего не запрещает быть функцией времени.

Gees в сообщении #537574 писал(а):

Причём тут время?

Не знаю причём тут время, я буковкой $t$ просто какой-то параметр обозначил, которые вы стали называть временем.

[Gees]

EvilPhysicist в сообщении #537586 писал(а):

да

А если вектор будет иметь длину, не равную нулю, а координаты у него нули, то как искать производную такого вектора?

EvilPhysicist в сообщении #537586 писал(а):

Кто же вам запрещает узнать? Взять на бумажке и посчитать, что происходит.

Смотря какие координаты у вектора, то есть он может как увеличиваться в длине с увеличением порядка производной, так и уменьшаться.

EvilPhysicist в сообщении #537586 писал(а):

Уравнения Ньютона - основная причина того, что они равны.
$ \vec L = \vec r \times \vec v $ значит $ \cfrac{d \vec L}{dt} =\vec v \times \vec v + \vec r \times \vec a= \vec r \times \vec a = \cfrac{1}{m} \vec r \times \vec F = \cfrac{1}{m} \vec M $.

Я не вижу смысла в этих уравнениях и как они получились интересно? Что в них зашифровано, ведь "силовое" уравнение для движения барабана одно, так как он один ${P}-{T}={m}\cdot{a}$. А может быть существуют уравнения движения Ньютона для импульса и момента сил?
Вот тут не понял...
Если, конечно связать тот же второй закон Ньютона и импульс тела (барабана), если коротко, то ${\vec F}=\dfrac{{d}{p}}{{d}{t}}$, то есть скорость изменения импулься тела равна действующей силе. Эта формула - непосредственное следствие определения импулься ${p}={m}\cdot{v}$ и второго закона Ньютона ${F}={m}\cdot{a}$. Действительно, дифференцируя обе части определения импульса ${p}={m}\cdot{v}$, имеем: $\dfrac{{d}{p}}{{d}{t}}={m}\cdot{\dfrac{{d}{v}}{{d}{t}}}={m}\cdot{a}={F}.$ Как я понимаю это характерно только для движения по прямой, наклонной, но не по кругу. Но в данном случае имеет место вращение тела, так как сила заставляет барабан вращаться, и тут уже появляется момент вращенияю
Основной закон динамики вращения (II закон Ньютона для вращательного движения) звучит так:
Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение, то есть ${\vec M}={J}\cdot{\vec varepsilon}$, но как момент вращения связан с моментом импульса?

EvilPhysicist в сообщении #537586 писал(а):

Ну ему ничего не запрещает быть функцией времени.

$\dfrac{{d}{x}}{{d}{t}}={x'_t}$, но как время могло заменить аргумент не понимаю...?

EvilPhysicist в сообщении #537586 писал(а):

Не знаю причём тут время, я буковкой $t$ просто какой-то параметр обозначил, которые вы стали называть временем.

А почему параметр, как Вы его называете, стал после дифференцирования параметром {t}[/quote]?