Почему 1989^1991 заканчивается на 9

[lampard]

Почему $1989^{1991}$ заканчивается на 9?

Как это можно доказать?

[svv]

Какой цифрой оканчивается $1989^2$ ? $1989^3$ ?

[lampard]

svv в сообщении #536881 писал(а):

Какой цифрой оканчивается $1989^2$ ? $1989^3$ ?

Спасибо.

$1989^2=...1$

$1989^3=...9$

$1989^4=...1$

$1989^{2n}=...1$

$1989^{2n+1}=...9$

Правильно?

[svv]

Совершенно верно.

[lampard]

svv в сообщении #536885 писал(а):

Совершенно верно.

А как тогда быть, если что-то по-сложнее чуть-чуть. Допустим $463^{462}$

$463^1=...3$

Обозначим степень $n$

$n=1\to 3$

$n=2\to 9$

$n=3\to 7$

$n=4\to 1$

$n=5\to 3$

$n=6\to 9$

$n=7\to 7$

$n=8\to 1$

$n=9\to 3$

Тут какая-то другая закономерность, как ее лучше уловить?

[Doil-byle]

Вообще, в подобных задачах часто нужно делать что-то типа того: $1989^{1991}\equiv 9^{1991}\equiv(-1)^{1991}=-1(-1)^{1990}=-1\equiv9\mod 10$

-- 10.02.2012, 02:08 --

$ 3^{462}=3^{{2}\cdot{231}}=9^{231}\equiv... $
Ну по-моему легче так. Вот если бы степень в степени была, то да, можно было бы и остатки перебрать.

[svv]

Здесь тоже есть закономерность, она почти такая же простая. Вы сами её легко сможете найти, если заметите следующее: последняя цифра степени $n$ определяет последнюю цифру степени $n+1$. Например, если где-то после 9 идет 7, то всегда после 9 идёт 7. Значит, последовательность последних цифр периодическая. У Вас период совсем небольшой... как только началось повторение.

[lampard]

Doil-byle в сообщении #536889 писал(а):

Вообще, в подобных задачах часто нужно делать что-то типа того: $1989^{1991}\equiv 9^{1991}\equiv(-1)^{1991}=-1(-1)^{1990}=-1\equiv9\mod 10$

-- 10.02.2012, 02:08 --

$ 3^{462}=3^{{2}\cdot{231}}=9^{231}\equiv... $

А что такое $\mod$? А как там получилась $-1$?

$9^{231}\equiv 9$

-- 10.02.2012, 01:14 --

svv в сообщении #536892 писал(а):

Здесь тоже есть закономерность, она почти такая же простая. Вы сами её легко сможете найти, если заметите следующее: последняя цифра степени $n$ определяет последнюю цифру степени $n+1$. Например, если где-то после 9 идет 7, то всегда после 9 идёт 7. Значит, последовательность последних цифр периодическая. У Вас период совсем небольшой... как только началось повторение.

Ок, там через 4 цифры повторяется, сейчас попробую сообразить...

-- 10.02.2012, 01:22 --

$463^{462}$

$n=1,5,9,4k-3\to 3$

$n=2,6,10,4k-2\to 9$

$n=3,7,11,4k-1\to 7$

$n=4,8,12,4k\to 1$

$463^{4n-3}$

Вроде так...

1) $4k-3=462$

$k$ - нецелое

2) $4k-2=462$

$4k=464$ => $k$ - целое

3) $4k-1=462$

$k$ - нецелое

4) $4k=462$

$k$ - нецелое

Тогда нас устраивает только 2)

Тогда число должно оканчиваться на 9.

[Doil-byle]

lampard в сообщении #536893 писал(а):

А что такое ? А как там получилась ?

$\mod$- это, вообще, обозначение остатка. Паскаль не припоминаете? В математике это называется сравнением по модулю. Числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $c$, если они дают одинаковый остаток при делении на $c$. Это записывается так: $a\equiv b(\mod c)$
$-1\equiv 9(\mod 10)$

[lampard]

Doil-byle в сообщении #536895 писал(а):

Паскаль не припоминаете? В математике это называется сравнением по модулю. Числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $c$, если они дают одинаковый остаток при делении на $c$. Это записывается так: $a\equiv b(\mod c)$
$-1\equiv 9(\mod 10)$

Спасибо буду теперь знать. Только я не все понял..

Не припоминаю Паскаль, с программированием -- тихий ужас=)

Если так, то я понимаю вот такое выражение, которое должно быть справедливо $10\equiv 7(\mod 3)$

А как тут с отрицательными числами оперировать? Я даже представить себе не могу -- как можно разделить $-1$ на 10, чтобы получился какой-то остаток. И как меньшее число делить на большее с остатком...

[PAV]

Два целых числа сравнимы по модулю $c$, если их разность делится на $c$ нацело.

[Sonic86]

$a^b \mod 10 = (a \mod 10)^{b \mod 4}$ - отсюда задача легко решается.

lampard в сообщении #536899 писал(а):

А как тут с отрицательными числами оперировать? Я даже представить себе не могу -- как можно разделить $-1$ на 10, чтобы получился какой-то остаток.

$-1 = (-10)\cdot 10 +9$.
Для любого целого $n$ и натурального делителя $d$ можно подобрать целое $q$ и $r: 0\leqslant r <d$. Просто берем числа $n,n-1,...,n-d+1$ - их всего $d$ и у всех разные остатки при делении на $d$, поэтому хотя бы одно число - это $n-r$. Отсюда находим $r$ и $d$ (хотя это не самый оптимальный вариант, но понятный). Обозначается $r = n \mod d$

lampard в сообщении #536899 писал(а):

И как меньшее число делить на большее с остатком...

Если $0\leqslant n<d$, то просто $n=0\cdot d + n$, $r=n$.