Теорема о мощности конечного поля

[Unconnected]

Дык действие ведь не в $Z_5$ происходит! Это уже элементы поля K ведь.

[Someone]

Дык ведь гомоморфизЬм.

[Unconnected]

Нет, ну как... утверждается, что {0,1,2,3,4} - подполе в K, или нет?

[Someone]

Дык, утверждается, что $f\colon\mathbb Z_5\to K$ - гомоморфизм полей. Вы знаете, что такое гомоморфизм?

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #536836 писал(а):

Нет, ну как... утверждается, что {0,1,2,3,4} - подполе в K, или нет?

Нет. Утверждается, что $\{f(\overline0),f(\overline1),f(\overline2),f(\overline3),f(\overline4)\}\subset K$ — подполе. Ну, $f(\overline3)+f(\overline4)=f(\overline3+\overline4)=f(\overline2)$...

И вообще — образ кольца при гомоморфизме является подкольцом.

[Unconnected]

Вы говорили, что в $Z_5$ не более 5 элементов. Но, в то же время, есть бесконечно много равных им классов вычетов. Так они, значит, в $Z_5$ не лежат? Я понимаю, что они как бы равны, но не лежат же... почему надо подставлять все "равные", а не какой-то один?

[Someone]

Unconnected в сообщении #536857 писал(а):

есть бесконечно много равных им классов вычетов

Каких классов вычетов? По модулю $5$? Их ровно $5$ штук: $\bar 0=\{\ldots,-10,-5,0,5,10,\ldots\}$, $\bar 1=\{\ldots,-9,-4,1,6,11,\ldots\}$, $\bar 2=\{\ldots,-8,-3,2,7,12,\ldots\}$, $\bar 3=\{\ldots,-7,-2,3,8,13,\ldots\}$, $\bar 4=\{\ldots,-6,-1,4,9,14,\ldots\}$.

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #536823 писал(а):

Дык действие ведь не в $Z_5$ происходит! Это уже элементы поля K ведь.

Ну и что? $p = \operatorname{char} K$, значит в $K$ имеем $p=0$ (здесь $p=\underbrace{1+...+1}_{\text{p членов}}$, где $1 \in K$), откуда $p+1=1, p+2=2,...$.

Unconnected в сообщении #536857 писал(а):

Вы говорили, что в $Z_5$ не более 5 элементов. Но, в то же время, есть бесконечно много равных им классов вычетов. Так они, значит, в $Z_5$ не лежат? Я понимаю, что они как бы равны, но не лежат же... почему надо подставлять все "равные", а не какой-то один?

(Оффтоп)

Вот зачем люди говорят "гомоморфизм"? Говорили бы: мономорфизм и эпиморфизм, сразу бы стало все понятно... И точные последовательности кто-то странный очень придумал...

Мономорфизм это, а не эпиморфизм. Инъективный он, вложение, поэтому элементам соответствуют элементы, а не классы.
Вы в $\mathbb{Z}_3$ и в $\mathbb{Z}_3[i]$ полазили или нет? Все же очевидно.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #536923 писал(а):

Вот зачем люди говорят "гомоморфизм"? Говорили бы: мономорфизм и эпиморфизм, сразу бы стало все понятно...

Ну, тут возникают определенные сложности, когда вы принимаете во внимание теорию категорий. А вообще в теории полей вместо "гомоморфизм" традиционно используют термин "вложение", но стоит ли грузить Unconnected'а еще и терминологией?

Sonic86 в сообщении #536923 писал(а):

И точные последовательности кто-то странный очень придумал...

Это довольно удобный способ компактно и наглядно записать длинную цепочку изоморфизмов.

Sonic86
При всем моем уважении, вы неправы с методической точки зрения. У Unconnected имеются проблемы даже с тем, что из себя представляет $\mathbb Z_5$, а вы тут одинаково обозначаете и элементы $\mathbb Z$, и $\mathbb Z_5$, и $K$. Конечно, когда вы "букварь скурили", это правильно и удобно, и в повседневной работе все так и делают. Но когда вы хотите разъяснить механизму, стоит все-таки иметь для этих трех случаев разные обозначения.

Unconnected
Видать, лектор вам в один семестр упихнул слишком много, чтобы он успел это подробно разъяснить. Теперь это исправлять нам с вами А начнем мы с того, что такое $\mathbb Z_5$, не возражаете?

Есть множество целых чисел $\mathbb Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$. С операциями сложения и умножения (обычными) оно образует кольцо. Множество всех целых чисел, кратных пяти, обозначается как $5\mathbb Z$ и имеет вид $\{\dots,-10,-5,0,5,10,\dots\}$. Как вы видите, это, в сущности, $\mathbb Z$, каждый элемент которого умножен на пять — потому оно и обозначается $5\mathbb Z$.

Если вы сложите любые два элемента из $5\mathbb Z$, вы снова получите элемент из $5\mathbb Z$ — если два числа делятся на пять, то и их сумма делится на пять. Если вы умножите элемент из $5\mathbb Z$ на любое целое число (т.е. на элемент из $\mathbb Z$), вы снова получите элемент из $5\mathbb Z$ — если число делится на пять, его можно удвоить-утроить-и т.п., оно от этого делиться на пять не перестанет. Эти два свойства $5\mathbb Z$ — замкнутость по сложению и "поглотительность" по умножению — очень важны и, собственно, именно они позволяют построить $\mathbb Z_5$. Кстати, любое подмножество кольца с этими двумя свойствами называется идеалом.

Идем дальше. Рассмотрим множество $1+5\mathbb Z=\{\dots,-9,-4,1,6,11,\dots\}$ — т.е. $5\mathbb Z$, к каждому элементу которого прибавили $1$. Все числа из этого множества дают один в остатке при делении на пять. Рассмотрим теперь для каждого $a\in\mathbb Z$ соответствующее множество $a+5\mathbb Z=\{\dots,a-10,a-5,a,a+5,a+10,\dots\}$. Такие множества называются классами вычетов (по модулю $5$, в данном случае). Сколько их всего? С первого взгляда может показаться, что их бесконечно много, у каждого $a$ — свой класс вычетов... но это не так. Например, взгляните на $6+5\mathbb Z = \{\dots,-4,1,6,11,16,\dots\}$ — это на самом деле $1+5\mathbb Z$, у них совпадают все элементы! На самом деле классов вычетов по модулю пять ровно пять штук, и перечисленые они в сообщении Someone. Но у каждого такого класса есть бесконечно много обозначений: $1+5\mathbb Z$ можно обозначать и как $6+5\mathbb Z$, и как $-9+5\mathbb Z$, и вообще как $x_1+5\mathbb Z$, где $x_1$ принадлежит $1+5\mathbb Z$, т.е. дает в остатке один при делении на пять. И вообще, если $a'\in a+5\mathbb Z$, то $a'+5\mathbb Z=a+5\mathbb Z$ — чтобы как-то обозначить класс вычетов, нужно взять из него любой элемент и использовать его как "представителя" этого класса. Что еще? Еще такое свойство: если $a'+5\mathbb Z=a+5\mathbb Z$, то $a'-a\in5\mathbb Z$: в самом деле, первое равенство означает, что $a=5m+r,\;a'=5n+r$ — где $r$, остаток, один и тот же, — но тогда $a'-a=5(m-n)$, т.е. делится на пять без остатка.

Теперь, собственно, строим $\mathbb Z_5$. Возьмем множество из указанных пяти классов вычетов: $\{0+5\mathbb Z,1+5\mathbb Z,2+5\mathbb Z,3+5\mathbb Z,4+5\mathbb Z\}$. Взяли. Давайте превращать его в кольцо... но сначала введем обозначения покороче, хорошо? Будем вместо $a+5\mathbb Z$ писать просто $\overline{a}$. Итак, у нас есть множество $\mathbb Z_5=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}$. Превращаем его в кольцо, т.е. вводим сложение и умножение. Пусть я хочу сложить $\overline{a}$ и $\overline{b}$ — что взять за их сумму? Возьмем $\overline{a+b}$... Но! Ведь у $\overline{a}$ много обозначений! Что, если $\overline{a'}=\overline{a}$, а $\overline{a'+b}\ne\overline{a+b}$? Ведь что мы сделали? Мы взяли по представителю из двух классов вычетов, сложили их (они же обычные целые числа, мы умеем их складывать), нашли, в каком классе вычетов находится полученная сумма, и взяли этот класс за ответ. Но вдруг если мы будем брать из наших двух классов представителей по-разному, их сумма будет попадать в разные классы вычетов?

К счастью, это не так: пусть $\overline{a'}=\overline{a},\overline{b'}=\ovelrine{b}$. Рассмотрим $\overline{a'+b'}$: Раз $a'$ и $a$ лежат в одном классе, то $a'-a=5k\in5\mathbb Z$, $a'=a+5k$, аналогично $b'=b+5\ell$. Но тогда $a'+b'=a+5k+b+5\ell=(a+b)+5(k+\ell)$ и $a'+b'\in\overline{a+b}$, т.е. $\overline{a+b}=\overline{a'+b'}$. Таким образом, определенная так сумма двух классов вычетов не зависит от того, каких конкретно представителей мы выбирали для вычисления — результирующий класс будет один и тот же. Это и имеют в виду, говоря, что "сумма определена корректно", что "результат не зависит от выбора представителей".

Мы ввели сложение. Проверьте сами, что $\overline0$ является нейтральным элементом для сложения в $\mathbb Z_5$, т.е. что $\overline a+\overline 0=\overline 0+\overline a=\overline a$. Теперь введем умножение: положим $\overline a\cdot\overline b=\overline{ab}$. Я думаю, вы сможете сами показать, что если $\overline{a'}=\overline{a},\overline{b'}=\ovelrine{b}$, то $\overline{ab}=\overline{a'b'}$. После этого покажите, что $\overline1$ является нейтральным элементом для умножения в $\mathbb Z_5$, т.е. что $\overline a\cdot\overline 1=\overline 1\cdot\overline a=\overline a$. Обратите внимание, что корректность определения суммы вытекала из замкнутости $5\mathbb Z$ по сложению, а корректность умножения — из "поглотительности" $5\mathbb Z$ по умножению.

Вот, кольцо $\mathbb Z_5$ построено. Если вы нарисуете его таблицу умножения, то вы увидите, что оно на самом деле поле. Вообще, в учебниках это все изложено гораздо лучше, честно. Например, можете посмотреть параграфы 1,2 из первой главы первого тома "Конечных полей" за авторством Лидла и Нидеррайтера — там все то же самое, в одном месте, только больше, подробнее и с примерами.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #536999 писал(а):

При всем моем уважении, вы неправы с методической точки зрения.

А, так я и не препод. Совершенно не понимаю, как это делается, так что да, Вы правы.

Joker_vD в сообщении #536999 писал(а):

У Unconnected имеются проблемы даже с тем, что из себя представляет $\mathbb Z_5$, а вы тут одинаково обозначаете и элементы $\mathbb Z$, и $\mathbb Z_5$, и $K$. Конечно, когда вы "букварь скурили", это правильно и удобно, и в повседневной работе все так и делают. Но когда вы хотите разъяснить механизму, стоит все-таки иметь для этих трех случаев разные обозначения.

Ааа, да, действительно.

[Unconnected]

Охх.. так, ну с кольцом вычетов понятно, меня клинит на моменте, когда отображаем.. сказано, что гомоморфизм переводит класс вычета в обыкновенное число. Но вот по факту значит получается, что в прообразе вместо вычета - бесконечное множество чисел, а почему... ведь элементы кольца именно вычеты... конечно, они состоят из этих самых чисел, но всё равно как-то не укладывается. Наверное, надо подумать)

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #537070 писал(а):

сказано, что гомоморфизм переводит класс вычета в обыкновенное число.

Нет. Где вы эту чушь взяли? Гомоморфизм из $\mathbb Z_5$ во что-то переводит классы вычетов в элементы этого чего-то.

Unconnected в сообщении #537070 писал(а):

Но вот по факту значит получается, что в прообразе вместо вычета - бесконечное множество чисел, а почему...

И в самом деле, почему?

Я, признаться, не совсем пойму, про гомоморфизм чего куда вы сейчас говорили. Поделитесь — тогда я и смогу развеять туман неведения

[Unconnected]

Цитата:

Если $\mathrm{char} K=p$, то отображение $f\colon \mathbb Z_p\to K$, $f(a)=\sum\limits_{n=1}^{a}1$ корректно определено и является гомоморфизмом, а следовательно (по теореме о гомоморфизме полей), инъективно, и $F=f(\mathbb Z_p)$ — подполе $K$, причем $F\cong\mathbb Z_p$.

Ну вот, отображение $f$, переводит $a \in Z_5$ (т.е. класс вычетов, а не бесконечное множество чисел! Или.. или всё-таки не класс вычетов? Кольцо $Z_5$ по факту состоит именно из классов ведь?) в сумму единиц второго поля(т.е. в какой-то его элемент)..

Что вообще значит сумма от одного до $a$, где $a$ - класс вычетов? Получается, надо брать суммы от всех представителей этого класса? Почему не от одного?

[Joker_vD]

Ага! Молодец, заметили. Каюсь, это одна из тех небрежностей, за которые я ругал Sonic86. Под $a$ в $f(a)$ понимается класс вычетов, а в $\sum\limits_{n=1}^a$ — какой-то представитель этого класса. Правильнее была бы запись $f(\overline a)=\sum\limits_{n=1}^a 1$. Так понятнее?

Если да, то идем дальше. В моей простыне выше я убил прилично места на "независимость от выбора представителей", поскольку это самое важное, когда вы отображаете факторкольцо куда-то. Ну так вот, пусть $\overline{a}=\overline{a'}$, тогда мы для $f(\overline a)$ должны брать, с одной стороны, $\sum\limits_1^a 1$, а с другой — вовсе даже $\sum\limits_1^{a'}1$. Это можно осуществить лишь если $\sum\limits_1^a 1=\sum\limits_1^{a'} 1$. Но, как я уже говорил $a'=a+5k$ и нам нужно выполнение равенства $\sum\limits_1^a 1=\sum\limits_1^{a'} 1=\sum\limits_1^{a} 1+\sum\limits_1^{5k} 1$, т.е. $\sum\limits_1^{5k} 1=0$.

Однако последнее равенство как раз и означает чугунную неизбежность $\operatorname{char} K=5$ — иначе гомоморфизм определить не получится вовсе. В самом деле, $f(\overline0)=0,\;f(\overline1)=1$ по определению гомоморфизма; поэтому

$$0=f(\overline{0})=f(\overline{5})=f(\overline{1+1+1+1+1})=f(\overline1+\overline1+\overline1+\overline1+\overline1)=f(\overline1)+f(\overline1)+f(\overline1)+f(\overline1)+f(\overline1)=1+1+1+1+1.$$

P.S. Я надеюсь, вас не путает, что нулевой и единичный элемент $K$ я обозначаю просто $0$ и $1$, а не, скажем, $0_K$ и $1_K$? Просто так не делают даже и в учебной литературе (разве что на первых 2-3 страницах), так что привыкайте потихоньку к умолчаниям.

[Unconnected]

Цитата:

$f(\overline a)=\sum\limits_{n=1}^a 1$. Так понятнее?

Значит, классу вычетов сопоставляется сумма единиц в количестве какого-то представителя этого класса ..Но, что значит какого-то? По определению отображения, одному иксу (классу) должен соответствовать один игрик-элемент поля. А игриков тут не один, получается...