Поведение степенного ряда на границе круга сходимости.

[samson4747]

Padawan в сообщении #535799 писал(а):

samson4747
Посмотрите теорему Прингсхейма на стр. 326 первого тома Маркушевича. Особой точкой будет точка $(1+2i)(z-3)=1$, т.е. $z=3+\frac{1}{1+2i}$.

знаком с данной теоремой, говорил об этом выше, но разве в предложенной Вами точке ряд не будет сходиться? получим ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$ а он сходится...

[bot]

samson4747 в сообщении #536369 писал(а):

знаком с данной теоремой, говорил об этом выше

Знаком, знаком, а применить даже и не попробовали, а ведь тут даже и знать не надо, что такое особая точка. Не обратили внимание - ту же самую опять предлагают?
Впрочем, и без Прингсхейма можно обойтись. Разве особенность связана вот так тупо со сходимостью? Сходится ряд на всей границе - Вы же сами это выяснили. А зачем ряд дифференцировали и точку его расходимости нашли - просто потому что bot зачем то попросил?

[samson4747]

Обратил внимание на повтор точки, но решил не ссылать внимание на посты выше... ряд сходится причём абсолютно на множестве $\left\{z:\,|z-3|\leqslant\dfrac{\sqrt 5}{5}\right\}$... особой точки получается нет на границе?

[bot]

bot в сообщении #536419 писал(а):

Разве особенность связана вот так тупо со сходимостью?

Что такое особая точка?

[samson4747]

bot в сообщении #536574 писал(а):

Что такое особая точка?

Особая точка, точка в которой $f$ дифференцируема в некоторой проколотой окрестности, а в самой точке либо не определена либо не является моногенной(дифференцируемой).

[Padawan]

samson4747
Неособая точка на границе круга сходимости -- это точка, у которой существует окрестность, в которую функция может быть аналитически продолжена из круга.

[samson4747]

Padawan в сообщении #536803 писал(а):

samson4747
Неособая точка на границе круга сходимости -- это точка, у которой существует окрестность, в которую функция может быть аналитически продолжена из круга.

Требуется дать ответ на поставленный вопрос, без знаний аналитического продолжения.

[Padawan]

Без знания того, что такое аналитическое продолжение, на вопрос "что такое особая точка?" ответить невозможно.

[samson4747]

Padawan в сообщении #536816 писал(а):

Без знания того, что такое аналитическое продолжение, на вопрос "что такое особая точка?" ответить невозможно.

Что такое особая точка написал в посте выше, имел ввиду что ответ нужен о том есть ли особые точки у данного ряда на границе круга сходимости без знаний аналитического продолжения.

[Padawan]

Вы там неправильно написали.
По теорема Прингсхейма точка $w=1$ является особой для суумы ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{w^n}{n^2}$. Ваш ряд из этого получается линейной заменой $w=(1+2i)(z-3)$. Следовательной ...

[samson4747]

$z=3+\frac{1}{1+2i}$... это то я понял ещё на странице 1... но всеравно некие сомнения есть... ладно

$$\boxed{\textbf{ВСЕМ ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!}}$$

[Someone]

samson4747 Вам ведь ещё на первой странице темы bot рекомендовал проверить поведение производной Вашей функции в точке $z=3+\frac{1-2i}5$. Вычислите, например, предел производной, когда $z\to 3+\frac{1-2i}5$ вдоль радиуса круга сходимости. Подумайте, может ли быть такой предел производной в неособой точке (определение чуть выше дал Padawan.

samson4747 в сообщении #536805 писал(а):

Требуется дать ответ на поставленный вопрос, без знаний аналитического продолжения.

Невозможно дать ответ без знания того, что такое аналитическое продолжение. Потому что само понятие особой точки определяется через аналитическое продолжение.

samson4747 в сообщении #536824 писал(а):

Что такое особая точка написал в посте выше, имел ввиду что ответ нужен о том есть ли особые точки у данного ряда на границе круга сходимости без знаний аналитического продолжения.

Вам эту точку указали ещё на первой странице темы и объяснили, что надо проверить. Вы же продолжаете твердить "ряд сходится".

[samson4747]

Someone, Cпасибо, кажется разобрался, благодарю за структурированный ответ.