коммутатор и подгруппа всех коммутаторов

[tavrik]

если группа абелева то подгруппа всех коммутаторов - тривиальна(каждый из них единица и все вместе тоже).
у меня возник вопрос, верно ли обратное. если подгруппа всех коммутаторов = единице, могу ли я утверждать, что группа - абелева группа.

[bot]

Коммутаторы не обязаны составлять подгруппу. Наверно, имеете в виду подгруппу, порождённую коммутаторами. Ну и если все коммутаторы единичны, то ...

[tavrik]

да, порожденную. там где каждый из членов этой подгруппы имеет вид $c_1\cdot{c_2}\cdot{c_3}...\cdot{c_k}$ где $c_i$ это коммутатор.
По теореме эта названная так же производной подгруппой $C'$ - нормальная подгруппа.

если все коммутаторы единичны то и производная подгруппа равна единице.
ну видимо, тогда любые два члена действительно коммутативны? т.е. группа абелева.

а может производная подгруппа $C'$ совпадать с самой группой $C$? в смысле, тогда группа будет "самой не абелевой что есть"?

[Sonic86]

Да может, если группа некоммутативна и проста. Например, знакопеременные подгруппы $A_n = S_n '$ при $ n\geqslant 5$ как раз совпадают со своим коммутантом.

[alcoholist]

tavrik в сообщении #536621 писал(а):

а может производная подгруппа $C'$ совпадать с самой группой $C$?

примеров -- море, например фундаментальные группы гомологических сфер, производные группы групп кос ($B''=B'$)

tavrik в сообщении #536621 писал(а):

тогда группа будет "самой не абелевой что есть"

все-таки "самая неабелева" -- это свободная группа:)