Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Ферма

[Andrei94]

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Ферма

Если я пойму - как они могут пригодиться и зачем они нужны (есть ли задачи,, которые предполагают использование этих теорем?), тогда будет легче их выучить (и их доказательства).

Теорема Ролля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция непрерывна на отрезке $[a; b]$ и дифференцируема на интервале $(a; b)$, принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.


Теорема Коши $(a; b)$ о среднем значении.

Пусть даны две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ такие, что:

$ f(x)$ и $ g(x)$ определены и непрерывны на отрезке $[a; b]$; производные $ f(x)$ и $ g(x)$ конечны на интервале $(a; b)$; производные $ f(x)$ и $ g(x)$ не обращаются в нуль одновременно на интервале и $g(a) \neq g(b)$; тогда

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f(c)}{g(c)}$, где $c \in (a,b)$

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если Функция (математика)функция $ f $ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и дифференцируема в интервале $(a; b)$, то найдётся такая точка $ c\in (a;b)$, что

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f(c)$.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке $[a; b]$ найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Лемма Ферма утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю

[ИСН]

Вы максимум чего-нибудь когда-нибудь искали?

-- Ср, 2012-02-08, 23:35 --

с помощью производной, я имею в виду

[Andrei94]

ИСН в сообщении #536505 писал(а):

Вы максимум чего-нибудь когда-нибудь искали?

-- Ср, 2012-02-08, 23:35 --

с помощью производной, я имею в виду

Да, знаю зачем нужна производная. Я понял - что означают эти теоремы, но не знаю - зачем они нужны.

Вот производная - понятно зачем нужна. Посчитаем производную - сможем найти экстремум и определить промежутки монотонности...

То есть лемма Ферма - понятна. А для чего остальные?

[ИСН]

Andrei94 в сообщении #536508 писал(а):

Посчитаем производную - сможем найти экстремум

Стоп! Как это мы сможем найти экстремум?

-- Ср, 2012-02-08, 23:42 --

А, то есть с Ферма понятно. Так...

-- Ср, 2012-02-08, 23:45 --

Ну а остальные, значит, дальше понадобятся. Есть ли смысл искать максимум на таком-то отрезке (Ролля), как оценить значение функции, зная производную и значение где-то рядом (Лагранжа), ну а теорема Коши какая-то стрёмная, может, она тупо просто так.

[Andrei94]

ИСН в сообщении #536510 писал(а):

Ну а остальные, значит, дальше понадобятся. Есть ли смысл искать максимум на таком-то отрезке (Ролля), как оценить значение функции, зная производную и значение где-то рядом (Лагранжа), ну а теорема Коши какая-то стрёмная, может, она тупо просто так.

Спасибо, теперь Ферма и Ролля точно хорошо запомню.

А вот про Лагранжа не совсем понял. Что значит " значение где-то рядом".

То есть вот так?

Пусть у нас есть функция

$y=\ln x$

$y'=\dfrac1x$

Пусть мы хотим заценить $\ln 2$

То есть можно его так заценить?

$\ln 2-\ln 1=\ln 2 =\dfrac{1}{1,5}\cdot (2-1)=\dfrac{2}{3}$

А и с Коши тоже было бы интересно узнать пример!

[ИСН]

Лучше так: "пусть мы хотим заценить $\ln 1.1$", или там "...$\sqrt{4.06}$". Да.

[Dan B-Yallay]

ИСН в сообщении #536510 писал(а):

ну а теорема Коши какая-то стрёмная, может, она тупо просто так

Лопиталь?

[ИСН]

Ах да.

[Ktina]

Andrei94 в сообщении #536501 писал(а):

Теорема Ролля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция непрерывна на отрезке $[a; b]$ и дифференцируема на интервале $(a; b)$, принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Очень хорошая иллюстрация теоремы Ролля:
http://www.madi.ru/study/kafedra/vm_new/page375.shtml

[Null]

Например теорема Ролля используется в оценке остаточного члена ряда Тейлора.
А при помощи теоремы Лагранжа доказывается, что если на отрезке производная 0, то функция постоянна.

[Xaositect]

Из теоремы Лагранжа такая простая, но полезная вещь следует: если $f(0) = g(0)$, $(\forall x > 0) f'(x)>g'(x)$, то $(\forall x > 0) f(x)>g(x)$

[bot]

Из теоремы Ролля вытекает существование нулей производной между любыми двумя нулями дифференцируемой функции. Из неё получаются теоремы Лагранжа и Коши.

Null в сообщении #536602 писал(а):

А при помощи теоремы Лагранжа доказывается, что если на отрезке производная 0, то функция постоянна.

Откуда следует описание неопределённого интеграла (то есть множества всех первообразных) в виде множества постоянных функций, сдвинутого на любую из первообразных.

(Оффтоп)

Это бывает трудно выжать из студента на экзамене - талдычат о тривиальной части, что производная константы ноль.

Из теоремы Коши получаем остаток в форме Лагранжа в формуле Тейлора, а также и правило Лопиталя.

[Someone]

Теорема Коши - это теорема Лагранжа для функции, заданной параметрически.

[Doil-byle]

Вот - Теорема Коши in action)