Исправление гармонического ряда и кое-что ещё

[Dave]

1. Учитель дал Пете задание подправить гармонический ряд

$$\frac 1 1+\frac 1 2 +\frac 1 3+\frac 1 4+\ldots+\frac 1 n+\ldots,$$

чтобы тот стал сходящимся. Петя имеет право увеличить знаменатель каждой дроби до любого натурального числа, но так, чтобы выполнялись два условия:
а) Исходный ряд остался невозрастающим;
б) Бесконечное количество членов ряда осталось неизменными.
Сможет ли Петя выполнить задание?
2. Известно, что невозрастающий ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$ сходится. Верно ли, что всегда $x_n=o\left(\frac 1 n\right)$ при $n \to \infty \; ?$
3. Известно, что ряд из неотрицательных величин $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$ сходится. При каких $\alpha$ можно наверняка утверждать, что $\varliminf\limits_{n \to \infty} {n \, \ln^{\alpha}n \, x_n} = 0 \; ?$
4. Пусть последовательность $\{a_n\}$ такова, что $\frac {a_n} n \to +\infty$. Обязательно ли существует такой сходящийся невозрастающий ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$, что $\varlimsup\limits_{n \to \infty} a_n x_n = +\infty \; ?$

[xmaister]

Пусть неизменными остались $k_n, n=1,2,\ldots $. Тогда $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{k_{n-1}}{k_n}\right)$. $a_n=\frac1{k_n}$- монотонно убывает к нулю. Тогда $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}\right)$. Положим, что он сходится, тогда $1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\to 0$. Имеем $0<\frac{a_{N+1}}{a_N}=\frac{\sum\limits_{n=N}^{\infty}a_n-a_{n+1}}{a_N} < \sum\limits_{n=N}^{\infty}\left(\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}\right)\to 0$, отсюда $\lim\limits_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=0$. Противоречие.

[Dave]

xmaister в сообщении #536322 писал(а):

Пусть неизменными остались $k_n, n=1,2,\ldots $. Тогда $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{k_{n-1}}{k_n}\right)$. $a_n=\frac1{k_n}$- монотонно убывает к нулю. Тогда $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}\right)$. Положим, что он сходится, тогда $1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\to 0$. Имеем $0<\frac{a_{N+1}}{a_N}=\frac{\sum\limits_{n=N}^{\infty}a_n-a_{n+1}}{a_N} < \sum\limits_{n=N}^{\infty}\left(\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}\right)\to 0$, отсюда $\lim\limits_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=0$. Противоречие.

Немного напутали пределы суммирования кое-где, но в целом решение правильное.
Я решал так. Допустим, что ряд изменён при сохранении условий a) и б). Возьмём индекс первой неизменной дроби, $n_1$, потом выберем второй такой индекс $n_2$, но так, чтобы $n_2 \geqslant 2n_1$, потом третий $n_3$ так, чтобы $n_3 \geqslant 2n_2$ и т.д. Т.к тогда $n_i-n_{i-1} \geqslant \frac {n_i} 2$, то сумма членов ряда с индексами от $n_{i-1}+1$ до $n_i$ будет не меньше $\frac {n_i-n_{i-1}} {n_i} \geqslant \frac 1 2$, а т.к. весь ряд разбивается на бесконечное число таких отрезков, то сумма всего ряда будет бесконечной.
А как насчёт остальных задач?

[RIP]

Задача 2 на форуме уже возникала несколько раз. Если кратко, то $nx_n\le2\sum_{n/2\le k\le n}x_k\to0$.

Задача 3 невыносимо тривиальна. Даже комментировать не буду.

В задаче 4 ответ тоже очевидно положительный. Найдём последовательность номеров $0=n_0<n_1<n_2<\ldots$ такую, что выполнены 2 условия:
(а) последовательность $\{a_{n_k}/k\}_{k=1}^\infty$ возрастает;
(б) $a_{n_k}/n_k>k^3$.
Кладём $x_n=k/a_{n_k}$ при $n_{k-1}<n\le n_k$, $k\ge1$. Тогда

$$\sum_{n=1}^\infty x_n=\sum_{k=1}^\infty(n_k-n_{k-1})\cdot\frac k{a_{n_k}}<\sum_k\frac{n_kk}{a_{n_k}}<\sum_k\frac1{k^2}<\infty.$$

При этом $a_{n_k}x_{n_k}=k\to\infty$.

[Dave]

Верно ли, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$ сходится, а $y_n \sim x_n$ (т.е. $\lim\limits_{n \to \infty} {\frac {y_n} {x_n}} = 1$), то и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n$ сходится?

[RIP]

$x_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$, $y_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}+\dfrac1n$.

[Dave]

RIP в сообщении #537147 писал(а):

$x_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$, $y_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}+\dfrac1n$.

Да. Я брал $x_n=\frac {(-1)^n} n$, $y_n=\frac {(-1)^n} n + \frac 1 {n \ln n}$.

[Dave]

Dave в сообщении #537136 писал(а):

Верно ли, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$ сходится, а $y_n \sim x_n$ (т.е. $\lim\limits_{n \to \infty} {\frac {y_n} {x_n}} = 1$), то и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n$ сходится?

А вот когда речь идёт об абсолютной сходимости (и там, и там), тогда верно.